$$\begin{gathered} 下面我们先直接用代数式来证明一下： \\ 设y_1=\arcsin x，y_2=\arccos x，求y_1+y_2 \\ 由于x=\sin y_1=\cos y_2，而\cos y_2=\sin (y_2+\frac{\pi }{2}) \\ 那么就得到y_1=y_2+\frac{\pi }{2}，即y_1-y_2=\frac{\pi }{2} \\ 但我们说这样不成立，为什么？ \\ 为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析 \\ 如下图所示。 \\ 实际上\arcsin x只取\sin x在[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]的那一段图像做关于y=x的对称 \\ 而\arccos x只取\cos x在[0,\pi ]的那一段图像做关于y=x的对称 \\ 因此在上述推导过程中，y_1的范围是[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]，y_2的范围是[0,\pi ] \\ \sin (y_2+\frac{\pi }{2})的范围是[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]不属于[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]的范围 \\ 因此\sin (y_2+\frac{\pi }{2})不成立 \\ 那如何推出正确的结论呢？ \\ 由于\cos x是偶函数，因此\cos y_2=\cos (-y_2)=\sin (-y_2+\frac{\pi }{2}) \\ \sin (-y_2+\frac{\pi }{2})的范围是[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]，因此成立 \\ 最终有x=\sin y_1=\cos y_2=\cos (-y_2)=\sin (-y_2+\frac{\pi }{2}) \\ 因此y_1=-y_2+\frac{\pi }{2}，即y_1+y_2=\frac{\pi }{2} \\ 即\arcsin x+\arccos x\equiv \frac{\pi }{2} \end{gathered}$$