139. 单词拆分

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给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。

注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

示例 1：

输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以由 "leet" 和 "code" 拼接成。
示例 2：

输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以由 "apple" "pen" "apple" 拼接成。
     注意，你可以重复使用字典中的单词。

示例 3：

输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
输出: false

这题可以看成一个完全背包问题，其中字典是物品，目标字符串是背包，字典中的单词可以使用无数次。

确定dp数组及其含义

dp[j] 表示字符串长度为j时，都可以用字典中的词表示。

确定递推公式

如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。

所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

dp数组的初始化

从递推公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递推的根基，dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都都是false了。

dp[0] = true；其他的初始化为false；

确定遍历顺序

本题其实我们求的是排列数，为什么呢。拿 s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”] 举例。

“apple”, “pen” 是物品，那么我们要求物品的组合一定是 “apple” + “pen” + “apple” 才能组成 “applepenapple”。

“apple” + “apple” + “pen” 或者 “pen” + “apple” + “apple” 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。

所以说，本题一定是先遍历背包，再遍历物品。

循环打印dp数组

最终代码：

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
        dp[0] = true;
        for(int i = 1; i <= s.size(); i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(dp[j] == true && find(wordDict.begin(),wordDict.end(), s.substr(j,i - j)) != wordDict.end()){
                    dp[i] = true;
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

这里注意在vector中查找的元素的写法：

find(wordDict.begin(),wordDict.end(), s.substr(j,i - j)) != wordDict.end()

多重背包理论基础（了解，面试基本不考）

多重背包与01背包相比，没有只能用一件的限制，与完全背包相比，想用的物品又不是无限的。

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，
每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的，为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

Table

重量

价值

数量

物品0

物品1

物品2

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

Table

重量

价值

数量

物品0

物品1

物品2

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

于是可以讲nums数组展开，再当成01背包问题：

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}

也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。

代码如下：（详看注释）

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);


    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
        }
        // 打印一下dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_multi_pack();
}

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。