【二叉树入门指南】链式结构的实现

news2024/11/16 11:28:10

【二叉树入门指南】链式结构的实现

  • 一、前置说明
  • 二、二叉树的遍历
      • 2.1前序遍历
      • 2.2中序遍历
      • 2.3 后序遍历
  • 三、以前序遍历为例，递归图解
  • 四、层序遍历
  • 五、节点个数以及高度等
      • 5.1 二叉树节点个数
      • 5.2二叉树叶子节点个数
      • 5.3 二叉树第k层节点个数
      • 5.4 二叉树查找值为x的节点
      • 5.5 二叉树的高度
  • 六、二叉树的创建和销毁
      • 6.1 构建二叉树
      • 6.2 二叉树的销毁
      • 6.3 判断二叉树是否为完全二叉树

在这里插入图片描述

一、前置说明

其他数据结构不同，二叉树的增删查改接口实现的意义不大（后续搜索树的增删查改才有意义）。普通初阶二叉树更重要的是学习控制结构，为后续的AVL树、红黑树等高级数据结构打下基础。同时大部分OJ题也出在此处。

二、二叉树的遍历

所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。
 
在这里插入图片描述
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

  • 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问顺序：根节点—>左子树—>右子树
  • 中序遍历(Inorder Traversal)——访问顺序：左子树—>根节点—>右子树
  • 后序遍历(Postorder Traversal)——访问顺序：左子树—>右子树—>根节点

2.1前序遍历

【代码思路】:

  1. 若二叉树为空，则直接返回。
  2. 访问根节点。
  3. 递归遍历左子树，即调用前序遍历函数，传入左子树的根节点。
  4. 递归遍历右子树，即调用前序遍历函数，传入右子树的根节点

代码：

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

2.2中序遍历

【代码思路】：

  1. 首先判断二叉树是否为空，若为空则直接返回。
  2. 对当前节点的左子树进行中序遍历，即递归调用中序遍历函数。
  3. 访问当前节点的值。
  4. 对当前节点的右子树进行中序遍历，即递归调用中序遍历函数。

代码：

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

2.3 后序遍历

【代码思路】：

  1. 判断当前节点是否为空，若为空则返回。
  2. 递归遍历当前节点的左子树。
  3. 递归遍历当前节点的右子树。
  4. 访问当前节点。

代码：

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

三、以前序遍历为例，递归图解

前序遍历递归图解：

在这里插入图片描述

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上述三种遍历结果：

  1. 前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
  2. 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
  3. 后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

四、层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述
【代码思路】：（核心思想：上一层出时带下一层进队列，即根节点出栈时，根节点的孩子节点入栈）

  1. 首先将根节点入栈。
  2. 循环进行以下操作，直到栈为空。
    。弹出栈顶元素，并将其值输出；
    。如果该节点有右子节点，则将右子节点入栈。
    。 如果该节点有左子节点，则将左子节点入栈

栈相关代码自行查看：栈和队列代码实现

代码：

void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		printf("%d ", front->data);

		if(front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}

	printf("\n");

	QueueDestroy(&q);
}

五、节点个数以及高度等

5.1 二叉树节点个数

【代码思路】：

  1. 如果二叉树为空，则节点个数为0。
  2. 否则，节点个数等于根节点的个数加上左子树的节点个数和右子树的节点个数。
  3. 递归计算左子树的节点个数。
  4. 递归计算右子树的节点个数。
  5. 返回根节点个数加上左子树和右子树的节点个数。

代码：

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	return  BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

5.2二叉树叶子节点个数

【代码思路】：

  1. 判断根节点是否为空，若为空，则返回0。
  2. 判断根节点的左右子树是否为空，若都为空，则表示根节点是叶子节点，返回1。
  3. 通过递归分别计算左子树和右子树的叶子节点个数，并返回左子树和右子树的叶子节点个数之和。

代码：

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

5.3 二叉树第k层节点个数

【代码思路】：

  1. 判断二叉树是否为空，如果是则返回0。
  2. 判断k是否等于1，如果是则返回1，表示当前层为第k层，只有一个节点。
  3. 如果以上条件都不满足，则递归计算二叉树的左子树和右子树的第k-1层节点个数，然后将左右子树的第k-1层节点个数相加，即为二叉树第k层节点个数。

代码：

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);

	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

5.4 二叉树查找值为x的节点

【代码思路】：

  1. 如果当前节点为空，则返回空。
  2. 如果当前节点的值等于x，则返回当前节点。
  3. 否则，递归查找左子树，如果找到则返回左子树中的节点。
  4. 否则，递归查找右子树，如果找到则返回右子树中的节点。

代码：

BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->data == x)
		return root;

	BTNode* ret1 = BTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	BTNode* ret2 = BTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

5.5 二叉树的高度

【代码思路】：

  1. 如果树为空树，则高度为0。
  2. 如果树不为空树，则高度为左子树的高度和右子树的高度中的较大值加1。
  3. 递归地计算左子树和右子树的高度，并取较大值。
  4. 返回左子树和右子树高度的较大值加1。

代码：

int BinaryTreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	int LeftHeight = BinaryTreeHeight(root->left);
	int RightHeight = BinaryTreeHeight(root->right);
	return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}

六、二叉树的创建和销毁

6.1 构建二叉树

Tips： 构建二叉树的方式有很多， 这里我们通过前序遍组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树。（‘#’表示空树）
【代码思路】：

  1. 如果节点为“#”表示空，返回空。
  2. 遍历创建左子树，并和根节点链接。
  3. 遍历创建右子树，并和根节点链接。
  4. 返回根节点

代码：

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode//结构体类型
{
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

//创建节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
    BTNode* Node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (Node == NULL)
    {
        perror("malloc fail");
        exit(-1);
    }
    Node->data = x;
    Node->left = NULL;
    Node->right = NULL;
    return Node;
}

//先序创建二叉树
BTNode* createrroot(char* a, int* pi)
{
    if (a[*pi] == '#')
    {
        (*pi)++;
        return NULL;
    }

    BTNode* root = BuyNode(a[*pi]);
    (*pi)++;

    root->left = createrroot(a, pi);
    root->right = createrroot(a, pi);
    return root;
}

6.2 二叉树的销毁

【代码思路】：

  1. 从根节点开始，递归地销毁左子树。
  2. 从根节点开始，递归地销毁右子树。
  3. 将根节点从内存中删除。

代码：

void BinaryTreeDestroy(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestory(root->left);
	BinaryTreeDestory(root->right);
	free(root);
}

6.3 判断二叉树是否为完全二叉树

（博主数据结构初阶是用C语言来实现的，所以此处直接栈代码从博主代码仓库中拷贝过来的，读者可以用其他语言来实现，大同小异）

【代码思路】：

  1. 遍历二叉树，使用层次遍历的方式，从根节点开始，逐层遍历每个节点。
  2. 当遇到第一颗空树时停止遍历。
  3. 从第一颗空树开始，后续节点如果有非空就不是完全二叉树，否则为完全二叉树。

栈相关代码自行查看：栈和队列代码实现
代码：

int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
    Que q;
    QueueInit(&q);

    if (root)
        QueuePush(&q, root);

    while (!QueueEmpty(&q))
    {
        BTNode* front = QueueFront(&q);
        QueuePop(&q);

        //遇空就跳过
        if (front==NULL)
        {
            break;
        }

        QueuePush(&q, root->left);
        QueuePush(&q, root->right);
    }

    //检查后续节点是否有非空
    //有非空就不是完全二叉树
    while (!QueueEmpty(&q))
    {
        BTNode* front = QueueFront(&q);
        QueuePop(&q);
        if (front)
        {
            QueueDestroy(&q);
            return false;
        }
    }
    QueueDestroy(&q);
    return true;
}

在这里插入图片描述
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【数据结构入门指南】二叉树顺序结构: 堆及实现（全程配图，非常经典）

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