前言

• 最短路径的算法有两个，Dijkstra算法 和 Floyd算法。
• Dijkstra算法 解决的是 单源 最短路径问题。
• Floyd算法解决的是 多源 最短路径问题，并且可以处理负权图。
• 今天要讲的就是Dijkstra算法。
• 加：feng--Insist(大写的i)，进java交流群讨论互联网+技术。可索要PPT等资料。
• 其他资料，建议先看本篇博客。：Dijkstra算法和Floyd算法：https://blog.csdn.net/weixin_43872728/article/details/100662957
• 代码位置：https://github.com/fengfanli/dataStructuresAndAlgorithm/tree/master/src/com/feng/algorithm/self_learn

一、单源最短路径

1、单源最短路径问题

• 解决的问题: 求解单源最短路径,即各个节点到达源点的最短路径或权值。如下图中
  
  考察其他所有节点到源点的最短路径和长度
• 局限性: 无法解决权值为负数的情况
• 资料
  • 可先看匹配视频：https://www.bilibili.com/video/BV1o44y1B7NM/
  • 代码：待上传。

2、Dijkstra 初始化

首先已知的是：
给定 邻接矩阵表示的图Graph、源点S、终点T。

a、参数

参数:

参数名	解释
S	记录当前已经处理过的源点到最短节点
U	记录还未处理的节点
dist[]	记录各个节点到起始节点的最短权值
path[]	记录各个节点的上一级节点(用来联系该节点到起始节点的路径)

b、初始化参数

• 顶点集S: 节点A到自已的最短路径长度为0。只包含源点，即S={A}，代码中没有这个，这里是为了步骤清晰而设置的。
• 顶点集U: 包含除A外的其他顶点. 即U={B,C,D,E,F,G}
• dist[]: 源点还不能到达的节点,其权值为∞

名	A	B	C	D	E	F	G
dist[]:	0	1	2	3	4	5	6
初始化值:	0	4	6	6	∞	∞	∞

path[]: 记录当前节点的前驱节点下标(源点还不能到达的节点为-1)

名	A	B	C	D	E	F	G
path[]:	0	1	2	3	4	5	6
初始化值:	0	0	0	0	-1	-1	-1

c、算法步骤

1. 初始化：设定除源节点以外的其它所有节点到源节点的距离为INFINITE(一个很大的数)，且这些节点都没被处理过。如上图所示
2. 从源节点出发，更新相邻节点(图中为B、C、D)到源节点的距离。然后在所有节点中选择一个最段距离的点作为当前节点。
3. 标记当前节点为done(表示已经被处理过)，与步骤2类似，更新其相邻节点的距离。(这些相邻节点的距离更新也叫 松弛，目的是让它们与源节点的距离最小。因为你是在当前最小距离的基础上进行更新的，由于当前节点到源节点的距离已经是最小的了，那么如果这些节点之前得到的距离比这个距离大的话，我们就更新它)。
4. 步骤3做完以后，设置这个当前节点已被done，然后寻找下一个具有最小代价(cost)的点，作为新的当前节点，重复步骤3.
5. 如果最后检测到目标节点时，其周围所有的节点都已被处理，那么目标节点与源节点的距离就是最小距离了。如果想看这个最小距离所经过的路径，可以回溯，前提是你在步骤3里面加入了当前节点的最优路径前驱节点信息。

• 我总结了下可用如下几句话代替：
  两步走
  1. 从dist[]中在集合U中的选择最小距离加入到S中，作为当前节点。(最小距离：就是 当前节点到源点的最小距离)
  2. 遍历当前节点的邻边节点：更新dist[]和path[]
     • 如果经过当前节点+邻边权重 < 邻边节点，则改变dist[]和path[]，否者不改变。

3、Dijkstra 算法详细步骤

a、第一轮算法执行

• 如上图，因为dist[]中排出掉集合U中节点，最小值是4，也就是节点B，所以将B纳入到集合S中（圈中）。

• 首先 在dist[]数组中并在集合U中 最小值是节点B，既当前节点，其邻边有C和E，所以看是否要更新C和E。

  • 节点C：因为C的最小距离dist[1](B的最小距离)4+1(B到C的距离)=5 < dist[2](C的最小距离) = 6，所以 dist[2]=5，path[2]=1
  • 节点E：因为E的最小距离 dist[1](B的最小距离)4+7(B到E的距离)=11 < dist[4] (E的最小距离)=无穷大，所以 dist[4]=11,path[4]=1

• 第一轮算法两个邻边节点C、E有改变

b、第二轮算法执行

• 如上图，因为dist[]中排出掉集合U中节点，最小值是5，也就是节点C，所以将C纳入到集合S中（圈中）。
• 首先在dist[]数组中并在集合U中 最小值是节点C，既当前节点，其邻边有E和F，所以看是否要更新E和F。
  • 节点E：因为C的最小距离 dist[2](也就是C的最小距离)5+6(C到E的距离)=11 == dist[4](E的最小距离) = 11，所以不动
  • 节点F：因为F的最小距离 dist[2](也就是C的最小距离)5+4(C到F的距离)=9 < dist[5] (F的最小距离)=无穷大，所以 dist[5]=9,path[5]=2
• 第二轮算法两个邻边节点仅有 F有改变

c、第三轮算法执行

• 如上图，因为dist[]中排出掉集合U中节点，最小值是6，也就是节点D，所以将D纳入到集合S中（圈中）。
• 首先在dist[]数组中并在集合U中 最小值是节点D，既当前节点，其邻边有C和F，所以看是否要更新C和F。
• 节点C：因为C的最小距离 dist[3](也就是D的最小距离)6+2(D到C的距离)=8 > dist[2](C的最小距离) = 5 ，所以不动
• 节点F：因为F的最小距离 dist[3](也就是D的最小距离)6+5(D到F的距离)=11 > dist[5] (F的最小距离)=9，所以不动
• 第三轮算法两个邻边节点C、F都没有改变

d、第四轮算法执行

• 如上图，因为dist[]中排出掉集合U中节点，最小值是9，也就是节点F，所以将F纳入到集合S中（圈中）。
• 首先在dist[]数组中并在集合U中 最小值是节点F，既当前节点，其邻边有E和G，所以看是否要更新E和G 。
• 节点E：因为E的最小距离 dist[5](也就是F的最小距离) 9 +1(F到E的距离)=10 < dist[4](E的最小距离) =11，所以 dist[4] = 10,path[4]=5
• 节点G：因为G的最小距离 dist[5](也就是F的最小距离) 9 +8(F到G的距离)=17 < dist[6](G的最小距离) =无穷大，所以 dist[6]=17,path[6]=5
• 第四轮算法两个邻边节点E、G都有改变

e、第五轮算法执行

• 如上图，因为dist[]中排出掉集合U中节点，最小值是9，也就是节点F，所以将F纳入到集合S中（圈中）。
• 首先在dist[]数组中并在集合U中 最小值是节点E，既当前节点，其邻边有G，所以看是否要更新G 。
• 节点G：因为G的最小距离 dist[4](也就是E的最小距离) 10 +6(E到G的距离)=16 < dist[6](G的最小距离) =17，所以 dist[6]=16,path[6]=4
• 第五轮算法邻边 节点G有改变

f、第六轮算法执行

• 如上图，因为dist[]中排出掉集合U中节点，最小值是16，也就是节点G，所以将G纳入到集合S中（圈中）。
• 首先在dist[]数组中并在集合U中 最小值是节点G，既当前节点，其没有邻边。
• 第六轮算法邻边节点G没有改变
• 到此算法遍历结束

4、java算法实现

给定矩阵表示的Graph结构。输入源点v0和终点v1。

二、多源最短路径

1、多源最短路径问题

• 上面的Dijkstra 解决的是单源最短路径的问题，首先要给定 开始节点和终止结点，如果换了开始和终止节点，那就要每次都要重新跑一次。
• 那就引出了多源最短路径问题：就是执行一次算法，求出每两个点之间的最短距离，这就是多源最短路径算法。这个算法代码略简单一些。
• 思想只有一个：要算两个点之间的最短距离，就看有没有第三个点使得

2、Floyd初始化

首先已知的是：
给定 **邻接矩阵表示的图Graph。

a、参数

参数名	解释
A[][]	函数中的参数，需要返回，存储的是节点的前置节点。
path[][]	存储的是每两点之间的所需距离。

b、参数初始化

参数名	解释
A[][]	就是图的赋值，从代码中可以看出，比较简单
path[][]	默认都是-1.表示从A点到B点是直达的。

c、算法步骤

1. 对于每个顶点v（体现在代码的第一层for循环），和任意一顶点（i,j）(体现代码的第二、三层循环),切 i!=j、v!=i、v!=j。
2. 如果A[i][j] > A[i][v] + A[]v[j]，则将A[i][j] 更新为 A[i][v] + A[v][j] 的值，并且将path[i][j]改为v。

3、Floyd算法详细步骤

4、java 算法实现

package com.feng.algorithm.self_learn.floyd.floyd1;

/**
 * 学习视频：https://www.bilibili.com/video/BV1LE411R7CS
 */
public class FloydAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] graph = new int[4][4];
        int N = Short.MAX_VALUE;
        graph[0] = new int[]{0, 5, N, 7};
        graph[1] = new int[]{N, 0, 4, 2};
        graph[2] = new int[]{3, 3, 0, 2};
        graph[3] = new int[]{N, N, 1, 0};

        int[][] path = new int[4][4];
        int[][] A = Floyd.floyd(graph, path);
        int u = 1;
        int v = 0;
        Floyd.printPath(u, v, path);
        System.out.println();
        System.out.println(u + "->" + v +" shortest path is :" + A[u][v]);
    }
}
class Floyd {

    /**
     * 佛洛依德算法，给定邻接矩阵表示的图，
     * path[][]:存放路径中间的节点，如果是-1就是直达
     * A[][]:存放任意两个节点之间的距离
     * 举例：从1-0，从A得出距离是6，从path得出 1-3-2-0
     * @param graph
     * @param path
     */
    static int[][] floyd(int[][] graph, int[][] path) {
        int n = graph.length;
        int v, i, j;
        int[][] A = new int[n][n];
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 0; j < n; j++) {
                A[i][j] = graph[i][j];
                path[i][j] = -1;
            }
        }

        for (v = 0; v < n; v++) {
            for (i = 0; i < n; i++) {
                for (j = 0; j < n; j++) {
                    if (A[i][j] > A[i][v] + A[v][j]) {
                        A[i][j] = A[i][v] + A[v][j];
                        path[i][j] = v;
                    }
                }
            }
        }
        return A;
    }

    /**
     * 递归打印路径
     * @param u
     * @param v
     * @param path
     */
    static void printPath(int u, int v, int[][] path) {
        if (path[u][v] == -1) { // 如果等于 -1 。说明就是直达的
            System.out.printf(u + "->" + v + " ");
        } else {
            int mid = path[u][v];
            printPath(u, mid, path);
            printPath(mid, v, path);
        }
    }
}