1、组合问题

• 题目链接：77. 组合

• 题解

  • 把组合问题抽象为如下树形结构
    
    图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
  • 最难理解的是单层搜索的过程
    回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
    
    如此我们才遍历完图中的这棵树。for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。代码如下：

    for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
        path.push_back(i); // 处理节点
        backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
        path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
    }
    

    可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

• 代码

  class Solution {
  private:
      vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
      vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
      void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
          if (path.size() == k) {
              result.push_back(path);
              return;
          }
          for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
              path.push_back(i); // 处理节点
              backtracking(n, k, i + 1); // 递归
              path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
          }
      }
  public:
      vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
          backtracking(n, k, 1);
          return result;
      }
  };
  

  • 时间复杂度: O(n * 2^n)
  • 空间复杂度: O(n)

• 给出回溯算法模板

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}