背景

为了了解sklearn的API，以及决策树的工作原理，本文以经典的花分类问题为例，编写代码并讲解。最后深入源代码查看其实现

关键词：决策树、基尼系数、决策树可视化、特征重要性。

代码案例

训练决策树

首先要准备数据集，并调用sklearn的API训练决策树。

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn import tree
import matplotlib.pyplot as plt

iris = load_iris()
print("feature names", iris.feature_names)
print("target names", iris.target_names)

X = iris.data[:, 2:]
y = iris.target

print("data shape", iris.data.shape)
print("X shape", X.shape)

输出如下，每个样本有4个特征，且标签有3种取值。

feature names ['sepal length (cm)', 'sepal width (cm)', 'petal length (cm)', 'petal width (cm)']
target names ['setosa' 'versicolor' 'virginica']

取出特征集和标签集。本案例每个样本只选取后两个特征"petal length"和"petal width"（通过切片方式iris.data[:, 2:]）。

X = iris.data[:, 2:]
y = iris.target

print("data shape", iris.data.shape)
print("X shape", X.shape)

尝试输出特征集如下：

• data shape (150, 4)的含义是，原本数据集有150个样本，每个样本原本有4个特征。
• X shape (150, 2)的含义是，由于每个样本只取后两个特征，其列数只为2。

data shape (150, 4)
X shape (150, 2)

之后，创建决策树并拟合，这里设置了最大深度为2，限制决策树的高度最多为2。

tree_clf = DecisionTreeClassifier(max_depth=2)
tree_clf.fit(X, y)

绘制决策树

绘制决策树图片。sklearn提供了plot_tree的接口。

fig = plt.figure(figsize=(25,20))
_ = tree.plot_tree(
    tree_clf,
    feature_names=iris.feature_names[2:],
    class_names=iris.target_names,
    filled=True
)

# Save picture
fig.savefig("decistion_tree.png")

调用tree_clf.feature_importances_可以输出决策树的特征重要性：

print("feature_importances_", tree_clf.feature_importances_)

其输出如下，两个特征的重要性分别是0.0和1.0，为什么这样呢？

feature_importances_ [0. 1.]

回看决策树的图，可以发现两个树中节点的判断条件分别是"petal width <= 0.8"和"petal width <= 1.75"，也就是说，只用到了"petal width"这个属性，而没用到"petal length"属性。

另外，可以检验图中节点的基尼系数。取绿色的树节点为例，样本数为54，判断成3种类别的样本数分别是0、49、5。
根据基尼系数公式，计算得到$1-(49/54{)}^2-(5/54{)}^2=0.168$。

决策树的基尼系数公式此处不再赘述，不是本文重点

代码案例2 观察特征重要性

上一例生成的决策树节点只用到了pedal width属性，从而难以校验特征重要性的计算公式。本例把决策树的最大深度从2改为3，鼓励其使用到两种属性。

tree_clf = DecisionTreeClassifier(max_depth=3)

其生成的决策树可视化如下：

输出的两个特征的特征重要性分别是0.58和0.41

feature_importances_ [0.58561555 0.41438445]

验证特征重要性

本节将对这两个数据做验证。两种属性各个取值的基尼系数增益如下

• "petal length<=4.85"的基尼系数增益为$0.043-0.444\ast \frac{3}{46}-0.0\ast \frac{43}{46}=0.014$
• "petal length<=4.95"的基尼系数增益为$0.168-0.041\ast \frac{48}{54}-0.444\ast \frac{6}{54}=0.082$
• "petal length<=2.45"的基尼系数增益为$0.667-0.0\ast \frac{50}{150}-0.5\ast \frac{100}{150}=0.33$
• "petal width<=1.75"的基尼系数增益为$0.5-0.168\ast \frac{54}{100}-0.043\ast \frac{46}{100}=0.38$

所以，属性的基尼系数增益之和，为其各个划分点的基尼系数加权和。

• petal length的基尼系数增益之和为$0.014\ast 46/150+0.082\ast 54/150+0.33\ast 150/150=0.36$
• petal width的基尼系数增益之和$0.38\ast 100/150=0.25$

两者作归一化后，得到0.36 / (0.36+0.25)=0.59，似乎与输出有一点偏差，这是由于舍去小数位末尾导致的。

二次验证

合并公式计算并观察可知，加权系数之间的分子分母可以消除。
也就是说$(0.043-0.444\ast \frac{3}{46}-0.0\ast \frac{43}{46})\ast 46/150=0.043\ast 46/150-0.444\ast 3/150-0.0\ast 43/150=0.0043$
以此法引用于每个划分点，可以计算得到另外几项：

• $0.168\ast 54/150-0.041\ast 48/150-0.444\ast 6/150=0.0296$
• $0.667-0.0\ast 50/150-0.5\ast 100/150=0.33$
• $0.5\ast 100/150-0.168\ast 54/150-0.043\ast 46/150=0.259$

所以，两个属性的基尼系数增益之和为0.367、和0.259，归一化得到0.586和0.414，非常接近于程序输出。

由此，我们可以得出结论，计算某属性的特征重要性，首先要求各个特征值的基尼系数增益，再各自乘以全局加权系数，并求和，

特征重要性的源码实现

建议先阅读参考文章：

• feature_importances_ - 从决策树到gbdt
• sklearn源码解析：ensemble模型 零碎记录；如何看sklearn代码，以tree的feature_importance为例

在sklearn，特征重要性的计算核心函数是cpython文件_tree.pyx的的compute_feature_importances。

    cpdef compute_feature_importances(self, normalize=True):
        """Computes the importance of each feature (aka variable)."""
        cdef Node* left
        cdef Node* right
        cdef Node* nodes = self.nodes
        cdef Node* node = nodes
        cdef Node* end_node = node + self.node_count
 
        cdef double normalizer = 0.
 
        cdef np.ndarray[np.float64_t, ndim=1] importances
        importances = np.zeros((self.n_features,))
        cdef DOUBLE_t* importance_data = <DOUBLE_t*>importances.data
 
        with nogil:
            while node != end_node:
                if node.left_child != _TREE_LEAF:
                    # ... and node.right_child != _TREE_LEAF:
                    left = &nodes[node.left_child]
                    right = &nodes[node.right_child]
 
                    importance_data[node.feature] += (
                        node.weighted_n_node_samples * node.impurity -
                        left.weighted_n_node_samples * left.impurity -
                        right.weighted_n_node_samples * right.impurity)
                node += 1
 
        importances /= nodes[0].weighted_n_node_samples
 
        if normalize:
            normalizer = np.sum(importances)
 
            if normalizer > 0.0:
                # Avoid dividing by zero (e.g., when root is pure)
                importances /= normalizer
 
        return importances

其中，以下代码所做行为就是在计算某特征值的加权基尼系数增益。

importance_data[node.feature] += (
   node.weighted_n_node_samples * node.impurity -
   left.weighted_n_node_samples * left.impurity -
   right.weighted_n_node_samples * right.impurity)

importance_data[node.feature]的+=符号代表这个节点的增益值归属于它的所属特征，由于一个特征可能会有多个划分值（比如"petal length<=4.85"和"petal length<=4.95"都属于petal length），所以它们的增益要累加。

.impurity里的其实就是基尼系数。

weighted_n_node_samples 的含义应该是该节点的全局加权系数，即该节点的样本数除以全局样本数$n_{node}/n_{total}$。比如对于上一例里右下角三个节点的全局加权系数分别是46/150、3/150、43/150。

importances /= nodes[0].weighted_n_node_samples的含义是，最后除以根节点的全局加权系数。但笔者认为通常这个值就是1。

如果设置要进行归一化，就最后除以总和，保证各特征值相加为1。

if normalize:
    normalizer = np.sum(importances)

    if normalizer > 0.0:
        # Avoid dividing by zero (e.g., when root is pure)
        importances /= normalizer

总结

• 以sklearn基于iris数据集构建决策树为例，实践了构建决策树、可视化决策树的API。
• 证实了"特征重要性等于基尼系数增益"的说法，以及全局加权系数的含义指$n_{node}/n_{total}$，手推了计算过程，并结合源码分析进一步作证。