一、求解问题概述
1.1 TSP问题
TSP问题是指旅行商问题（Traveling Salesman Problem）。在TSP问题中，假设有一名旅行商要在给定的一组城市之间进行旅行，每个城市只能被访问一次，并且旅行商必须最终返回出发城市。问题的目标是找到一条路径，使得旅行商的总旅行距离最短。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，在计算复杂性理论中被证明是NP-难问题，意味着在一般情况下，找到最优解需要耗费大量的计算时间。TSP问题在实际应用中具有广泛的应用，如物流规划、电路板设计、基因组测序等领域。为了解决TSP问题，许多算法和启发式方法被提出，包括穷举搜索、动态规划、近似算法（如最近邻算法和模拟退火算法）、遗传算法等。这些方法旨在找到一个近似最优解或者在可接受的时间内找到较好的解决方案。
1.2 目标函数
在该问题中，我们需要定义一个目标函数，它是根据决策变量的值来计算问题的目标。目标函数可以是线性的、非线性的、凸的或非凸的，具体取决于问题的性质。例如，在一个生产调度问题中，目标函数可以是最小化总生产时间或最大化利润。
arg min x ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n c i j x i j \arg\min_{x}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_{ij}x_{ij} argxmini=1∑nj=1∑ncijxij
其中：
n
n
n 是城市的数量。
c
i
j
c_{ij}
cij 是城市i到城市j之间的距离（或时间）。
x
i
j
x_{ij}
xij 是决策变量，表示是否从城市i移动到城市j。当路径经过城市i到城市j时，
x
i
j
x_{ij}
xij 取值为1，否则为0。
TSP 的目标函数即为所有路径距离或路径时间的总和，通过最小化这个目标函数，可以找到一条最优路径，使得旅行商经过所有城市后的总距离或总时间最小。
二、优化方法概述
TSP问题属于组合优化问题，往往这种问题如果用枚举法来求解的话，都会遇到
n
!
n!
n! 或者
m
n
m^n
mn 等复杂度爆炸的情况，都属于 NP 难问题。
解决这种问题的方法一般采用近似法求解，即：在损失少量求解精度的前提下，节约大量的时间3开销。
下面采用一种改进的遗传算法对 TSP 问题进行求解。
三、程序代码
该算法参考自计算机学报论文《一种改进的求解 TSP 问题的演化算法》1
// 解决TSP问题的重构算法（主要是tsp0的代码风格太丑陋了，修改成C++风格）
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<time.h>
#include<string>
using namespace std;
class TSP_M {
private:
int numCity; // 城市数量
vector<vector<double>> cityXY; // 城市坐标
vector<vector<double>> cityDis; // 城市间距离的邻接矩阵
int numColony = 100; // 种群数量
vector<vector<int>> colony; // 种群
vector<double> individualAdaptability; // 个体适应度
int maxGen = 200000; // 最大演化代数
double probabilityMutation = 0.02; // 变异概率
vector<int> bestIndividual; // 当前最优个体
double bestAdaptability; // 当前最优个体的适应度
public:
// 计算种群中每个个体的适应度
void calculateAdaptability() {
// 计算每个个体的适应度
for (int i = 0; i < numColony; i++) {
double sum = 0;
for (int j = 0; j < numCity; j++) {
sum += cityDis[colony[i][j]][colony[i][(j + 1) % numCity]];
}
individualAdaptability[i] = sum;
}
}
// 初始化
void init(string filePath) {
readTspFile(filePath);
// 根据tsp数据，初始化相关数据
calculateData();
}
// 进行迭代计算
void evolution() {
for (int curGen = 0; curGen < maxGen; curGen++) { // 迭代maxGen次
for (int i = 0; i < numColony; i++) { // 遍历种群中所有个体
vector<int> path = colony[i]; // 用于存放变异后的路径
int posC1 = rand() % numCity; // 随机生成变异点1（在path中的位置）
int posC2 = rand() % numCity; // 随机生成变异点2（在path中的位置）
int C1, C2; // 变异点1和变异点2对应的城市编号
C1 = path[posC1]; // 获取变异点1对应的城市
int j = rand() % numColony; // 用于外变异的另一个 与 i个体 不同的个体
int pos_flag = 0; // 用于标记变异过的点的数量
double distanceChange = 0; // 用于记录距离变化
while (true)
{
// 以 probabilityMutation (default = 0.02)的概率进行内变异
if (rand() / 32768.0 < probabilityMutation) {
posC2 = rand() % numCity;
while (posC1 == posC2) { // 如果两个变异点相同，则重新生成
posC2 = rand() % numCity;
}
C2 = colony[i][posC2]; // 获取变异点1对应的城市
}
else { // 进行外变异（交叉）
j = rand() % numColony;
while (i == j) { // 如果两个个体相同，则重新生成
j = rand() % numColony;
}
// 获取个体 j 中 变异点1 对应城市的位置
int pos = position(colony[j], path[posC1]);
C2 = colony[j][(pos + 1) % numCity]; // 获取变异点2对应的城市
posC2 = position(path, C2); // 获取变异点2在个体 i 中的位置(即变异点2对应的城市在个体 i 中的位置
}
// 如果两个变异点相邻，continue
if ((posC1 + 1) % numCity == posC2 || (posC1 - 1 + numCity) % numCity == posC2)break;
//if (abs(posC1 - posC2) == 1 || abs(posC1 - posC2) == numCity - 1) {
// continue;
//}
// 否则进行倒位操作
int C1_left = path[posC1]; // 变异点1左边的城市
int C1_right = path[(posC1 + 1) % numCity]; // 变异点1右边的城市
int C2_left = path[posC2]; // 变异点2左边的城市
int C2_right = path[(posC2 + 1) % numCity]; // 变异点2右边的城市
// 计算倒位后的路径长度
distanceChange += cityDis[C1_left][C2_left] + cityDis[C1_right][C2_right]
- cityDis[C1_left][C1_right] - cityDis[C2_left][C2_right];
invert(path, posC1, posC2); // 倒位操作
pos_flag++; // 变异点数量加一
if (pos_flag >= numCity)break;
posC1++; // 变异点1的位置加一
if (posC1 >= numCity) posC1 = 0; // 如果变异点1的位置超过了numCity，则变异点1的位置为0
}
// 更新子个体的适应度
individualAdaptability[numColony + i] = individualAdaptability[i] + distanceChange;
distanceChange = 0;
// 记录 产生的 子个体
for (int j = 0; j < numCity; j++) {
colony[numColony + i][j] = path[j];
}
}
// 一轮迭代之后进行选择
selection();
bestIndividual = colony[0]; // 更新最优个体
bestAdaptability = individualAdaptability[0]; // 更新最优个体的适应度
for (int i = 1; i < numColony; i++) {
if (individualAdaptability[i] < bestAdaptability) {
bestIndividual = colony[i];
bestAdaptability = individualAdaptability[i];
}
}
// cout << "第" << curGen << "代的最优个体适应度为：" << bestAdaptability << endl;
cout << curGen << ":" << bestAdaptability << endl;
// 创建 outfile.txt 文件
ofstream outfile("outfile.txt", ios::app);
// 每 2000 代将最优个体的适应度写入文件
if ((curGen + 1) % 2000 == 0) {
outfile << curGen << ":" << bestAdaptability << endl;
}
// 关闭文件
outfile.close();
}
}
// 获取城市在路径中的位置
int position(vector<int>& path, int city) {
for (int i = 0; i < numCity; i++) {
if (path[i] == city) {
return i;
}
}
return -1;
}
void invert(vector<int>& path, int pos1, int pos2) {
// 如果pos1在pos2的左边，为一段
if (pos1 < pos2) {
for (int i = pos1 + 1, j = pos2; i < j; i++, j--) {
swap(path[i], path[j]);
}
}
// 如果pos1在pos2的右边，为两段
else {
// 右边的段 <= 左边的段
if (numCity - 1 - pos1 <= pos2 + 1) {
int i, j;
for (i = pos2 + 1, j = pos1; i <= numCity - 1; i++, j--) {
swap(path[i], path[j]);
}
for (i = 0; i < j; i++, j--) {
swap(path[i], path[j]);
}
}
// 右边的段 > 左边的段
else {
int i, j;
for (i = pos2 + 1, j = pos1; j >= 0; i++, j--) {
swap(path[i], path[j]);
}
for (j = numCity - 1; i < j; i++, j--) {
swap(path[i], path[j]);
}
}
}
}
// 在父代和子代中进行一个锦标赛选择
void selection() {
for (int i = 0; i < numColony; i++) {
if (individualAdaptability[i] > individualAdaptability[numColony + i]) {
individualAdaptability[i] = individualAdaptability[numColony + i];
for (int j = 0; j < numCity; j++) {
colony[i][j] = colony[numColony + i][j];
}
}
}
}
// 读取tsp文件
bool readTspFile(string filePath) {
fstream input(filePath, ios::in);
if (!input) {
cout << "文件打开失败" << endl;
return false;
}
input >> numCity; // 城市数量
cout << numCity << endl;
// 初始化cityXY
cityXY = vector<vector<double>>(numCity, vector<double>(2));
// 读取城市坐标
double x, y;
for (int i = 0; i < numCity; i++) {
int tmp;
input >> tmp >> x >> y;
cout << tmp << " " << x << " " << y << endl;
cityXY[i][0] = x;
cityXY[i][1] = y;
}
// 关闭文件
input.close();
return true;
}
// 根据tsp数据计算城市之间的距离、并随机初始化种群、同时计算适应度
void calculateData() {
// 初始化cityDis
cityDis = vector<vector<double>>(numCity, vector<double>(numCity));
// 计算城市间距离
for (int i = 0; i < numCity; i++) {
for (int j = 0; j < numCity; j++) {
cityDis[i][j] = sqrt(pow(cityXY[i][0] - cityXY[j][0], 2) + pow(cityXY[i][1] - cityXY[j][1], 2));
}
}
// 初始化colony （包括父代和子代）
colony = vector<vector<int>>(2 * numColony, vector<int>(numCity));
// 以时间为种子，随机生成种群
srand((unsigned)time(NULL));
// 建立一个用于随机生成种群的数组
vector<int> tmp(numCity);
for (int i = 0; i < numCity; i++) {
tmp[i] = i;
}
// 随机初始化种群
for (int i = 0; i < numColony; i++) {
int numNeedToRand = numCity; // 当前需要随机的次数
for (int j = 0; j < numCity; j++) {
int randIndex = rand() % numNeedToRand; // 随机生成下标
colony[i][j] = tmp[randIndex]; // 将随机生成的下标对应的值赋给种群
swap(tmp[randIndex], tmp[numNeedToRand - 1]); // 将已经随机过的下标与最后一个下标交换
numNeedToRand--; // 需要随机的次数减一
}
}
// 初始化individualAdaptability
individualAdaptability = vector<double>(2 * numColony); // 后面的numColony个是用于存放子个体的适应度的
// 计算种群中每个个体的适应度
calculateAdaptability();
}
// 获取最优个体
vector<int> getBestIndividual() {
int bestIndex = 0;
for (int i = 1; i < numColony; i++) {
if (individualAdaptability[i] < individualAdaptability[bestIndex]) {
bestIndex = i;
}
}
return colony[bestIndex];
}
};
int main() {
TSP_M tsp;
// tsp.readTspFile("./pcb442.tsp");
tsp.init("./pcb442.tsp");
tsp.evolution();
vector<int> bestIndividual = tsp.getBestIndividual();
// 输出最优个体到文件
fstream output("./bestIndividual_Serial.txt", ios::out);
for (int i = 0; i < bestIndividual.size(); i++) {
output << bestIndividual[i] << " ";
}
return 0;
}
四、运行结果
从图中可以看出算法的所有的路线基本都没有交叉，性能较为鲁棒。
[1]蔡之华,彭锦国,高伟,魏巍,康立山.一种改进的求解TSP问题的演化算法[J].计算机学报,2005(05):823-828. ↩︎
