一、01背包问题详解

在这里插入图片描述

确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i] [j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
在这里插入图片描述

确定递推公式
dp数组的初始化

首先从dp[i][j] 的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp [i] [0] ，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。 dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

function testWeightBagProblem (weight, value, size) {
    // 定义 dp 数组，物品的数量为行，背包的不同容量为列（注意由于可以不放，所以是size+1）
    const dp = Array(weight.length).fill().map(() => Array(size + 1).fill(0));

    // 初始化,对于物品0，放入不同容量背包的最大价值
    // j就代表不同的容量，最大为背包的最大容量。
    for(let j = weight[0]; j <= size; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // 对于每个物品，放入不同的背包里的最大价值。
    // 由于上面已经把物品0的可能性列出了，所以这里从物品1开始
    for(let i = 1; i < weight.length; i++) { 
        // 不同的背包容量，从0开始
        for(let j = 0; j <= size; j++) { 
            // 如果背包的容量不能放下物品，此时的最大价值就是上一个状态的
            if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 否则就是比较放入物品i 和 不放入物品的i 这两种情况的最大价值
            else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    
    return dp[len - 1][size];
}

function test () {
    console.log(testWeightBagProblem([1, 3, 4, 5], [15, 20, 30, 55], 6));
}

test();

二、有关题目

416. 分割等和子集

题目链接

转换问题
这道题可以换一种表述：给定一个只包含正整数的非空数组 nums，判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于整个数组的元素和的一半。因此这个问题可以转换成「0-1背包问题」。
背包就是整个数组的元素和的一半，物品就是数组。需要从数组中取任意个数字，使得和等于指定数
判断不可能的情况
（1) nums的总和sum为奇数，则不可以对分，为false
（2) 目标值targetSum (即背包重量是 nums总和sum的一半) 小于nums数组中的最大值，为false
dp数组，n行targetSum+1 列，即构造上面的方格
dp[i][j] 表示从数组的 [0,i]下标范围内选取若干个正整数（可以是 0 个），是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于 j。初始时，dp 中的全部元素都是 false。
初始化，即边界情况
dp[0][0] = true, 不选即满
dp[i][0] = true, i >= 1; 表示容量为0，有1个及以上个物品时可认为不选即满，固可以填满
dp[0][i] = false, i >= 1; 即初始的值。表示容量大于等于 1时，没有物品可选则无法填满
递推公式

var canPartition = function(nums) {
    let n = nums.length

    // 两个子集的和等于总和的一半，所以如果总和为奇数，那么就是false
    let sum = 0
    for(const s of nums){
        sum += s
    }
    if(sum % 2 != 0) return false

    // 目标和，即背包容量
    const targetSum = sum / 2

    // 如果有物品的重量大于目标和，则为fasle
    if(Math.max(...nums) > targetSum) return false


    // 转换为01背包问题，即从nums（物品）里选择出的数字等于targetSum（背包的容量）
    // 1、dp数组,初始化全为false
    let dp = new Array(n).fill().map(() => new Array(targetSum+1).fill(false))

    // 2、初始化,dp[i][0] = true 
    for(let i=0; i<n; i++){
        dp[i][0] = true
    }
    dp[0][nums[0]] = true

    // 状态更新
    for(let i = 1; i < n; i++) { 
        for(let j = 1; j <= targetSum; j++) { 
            if(j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i]];
        }
    }
    return dp[n-1][targetSum]
};