题目

如何求得某字符串 str 的最长回文子串的长度？

要求时间复杂度 O(N)

1）例子演示

什么是回文子串？

回文串即该字符串从前往后读，从后往前读都是一样的，或者说该字符串是对称的，子串表示该字符串在 str 中是连续的一段字符，不能拼接而成

如上图的字符串 str，"cabbac"是一个回文串，字符串长度为偶数，关于一条虚轴对称，"abbacabba"也是一个回文串，字符串长度为奇数，关于字符 ‘c’ 对称

不难发现该字符串中有很多的回文子串，但是 "abbacabba"便是其中最长的回文子串，其长度 9 就是我们需要返回的结果

2）思路分析

不难想到，求回文子串，我们会让每个字符以其为中心，向两边扩散，如果字符两端的字符相等并且没有超过字符串长度限制就扩，条件不成立了就表示求出了以该字符为中心的回文子串

如上图所示，我们以字符 ‘b’ 为中心扩散，最后走到了字符串的最左侧，停止扩张，得到了回文子串 “cabac”

如果我们能够将所有字符为中心的回文子串找到，保持记录其中的长度最大值，是不是就能够得到最长回文子串了呢？

但是回文子串中还存在着字符数量为偶数的字符串，为偶数时，是以一条虚轴为对称中心，按照上面的做法就会错过偶数长度的回文子串

为解决这个问题，我们可以将特殊字符插在所有字符间以及字符串两侧，排除奇偶长度字符串的问题，仍然按照上面的思路就能够解决问题

注：特殊字符是什么没有限制，因为特殊字符相当于是一个虚轴的存在，辅助功能，不管算哪个位置的回文子串，特殊字符只可能和特殊字符进行比对，所以不会对原来的字符比对有影响，自然也不会影响到最后的结果

比如对于字符串 “abba”

得到的最长回文串的长度为 9，返回的结果就是 9/2 = 4，符合预期

在最差情况下，比如 “ccccccc”，这样的字符串每次在算回文子串时都会扩张到边界才停止，扩张代价 O（N），该字符串长度为 N 时，时间复杂度为 O（N*N）

3）Manacher 算法

该算法能够实现时间复杂度为 O（N），主要原理就在于使得每次扩张时掌握充分的已有信息，在此基础上进行有意义的扩张

在这里有四个比较重要的变量

变量 H：回文半径

变量 D：回文直径

变量 R：之前扩张的所有位置中所到达的最远的回文右边界（初始值为-1）

变量 C：取得更远的回文右边界时，回文中心点（初始值为-1）

比如 “abbac”

在下标 0 时，此时的回文串为 “#”，回文半径和直径都为1，最右回文边界 R 更新为 0，中心点 C 更新为 0

在下标 1 时，此时的回文串为 “#a#”，回文半径为2，直径为 3，R 更新为 2，C 随之更新为 1

在下标 2 时，此时的回文串为 “#”，回文半径和直径都为1，R、C 都没有更新

注：可以看得出来，R 和 C 是一起更新的

那么在了解了这些变量信息后，我们就可以根据不同的情况来分类，采取不同的求回文子串的措施

情况一：

当前遍历到的字符的位置在最右回文边界外部，暴力扩张

就像上面的例子中，index = 0 时，此时 R = -1，字符的位置显而易见在 R 的外部，所以只能进行暴力扩张

情况二：

当前遍历到的字符的位置在最右回文边界及其内部

在第二种情况中又根据当前遍历到的字符的位置 i 关于中心点 C 对称的位置的字符 i’ 的回文区间分成三类

2.1 第一类：

i' 的回文区间在 L..R 内部

向上面图中就属于这一类，此时 i 位置的字符的回文半径一定和 i' 是一样的

为什么呢？

如上图所示，区域 ① 是以 i’ 位置的字符为中心的回文子串区域，X ≠ Y，否则回文子串的区域会包含 X 字符 和 Y 字符

因为 i 和 i’ 关于中心点 C 成对称关系，所以区域 ② 也一定是回文子串，并且和区域 ① 呈逆序关系， X = Q，Y = P

所以得出结论 P ≠ Q，区域 ② 就是以 i 位置的字符为中心的回文子串区域

2.2 第二类：

i' 的回文区域有一部分在 L..R 外面

注：方便起见，去掉了特殊字符

此时以 i 位置的字符为中心的回文子串的回文半径就是 i 到 R 这段距离

这是什么原理呢？

如上图所示，区域 ① 是以 i’ 位置的字符为中心的回文子串区域中的一部分，X = Y

因为 i 和 i’ 关于中心点 C 成对称关系，所以区域 ② 也一定是回文子串，并且和区域 ① 呈逆序关系，Y = P

由于以 C 为中心点的回文子串区域为 L…R，所以 X ≠ Q

综上所述，X = P，P ≠ Q，区域 ② 就是以 i 位置的字符为中心的回文子串区域

2.3 第三类：

i' 的回文区域边界和 L 重合了

此时 i 的回文半径至少是 i 到 R，至于会不会更长，就需要在已确定的回文串长度基础上向外比对，向外扩

像上面的这种情况，下标 5 ~ 7 的字符串就不需要进行比对了，一定是回文串，然后在比对 4 位置和 8 位置的字符，直到扩张失败

如上图所示，区域 ① 是以 i’ 位置的字符为中心的回文子串区域，左边界刚好和 L 重合

因为 i 和 i’ 关于中心点 C 成对称关系，所以区域 ② 也一定是回文子串，并且和区域 ① 呈逆序关系

但是以 i 为中心的回文子串是否会变得更长，还要继续比对 X 字符 和 Y 字符，相等就外扩，不等回文子串就是区域 ②

4）代码展示

//转换方法 "abba"-->{'#','a','#','b','#','b','#','a','#'}
public char[] Transform(String str) {
    char[] chs = str.toCharArray();
    char[] newChs = new char[chs.length*2+1];
    newChs[0] = '#';
    int index = 0;
    int i = 1;
    while (i < newChs.length) {
        newChs[i++] = chs[index++];
        newChs[i++] = '#';
    }
    return newChs;
}
public int Manacher (String str) {
    char[] chs = Transform(str);//转换
    int[] radius = new int[chs.length];//保存每个字符的回文半径
    int R = 0;
    //为了方便，这里的 R 为最右回文边界的后一个字符下标
    //这样 R-i 就刚好是情况二中的第二类的 i 的回文半径
    int C = -1;
    int max = 1;
    for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
        //回文半径至少的长度
        // R > i 成立了，就是情况一，回文半径至少是1
        // R > i 不成立，那就是情况二，radius[2*C-i]就是 i' 的回文半径长度，和 R-i 取较小
        radius[i] = R > i ? Math.min(radius[2*C-i],R-i):1;
        //虽然只有情况一和情况二的第三类需要往外扩，但是为了方便，不管哪种情况都扩
        //反正情况二的第一二类情况外扩也会失败的，不影响结果
        //循环进入条件就是左右不可越界
        while (i + radius[i] < chs.length && i - radius[i] > -1) {
            //配对成功，外扩，即回文半径加一
            if (chs[i + radius[i]] == chs[i - radius[i]]) {
                radius[i] ++;
            }else {
                //外扩失败
                break;
            }
        }
        //更新 R 和 C
        if (R < i + radius[i]) {
            R = i + radius[i];
            C = i;
        }
        //保持最大值
        max = Math.max(max,radius[i]);
    }
    //因为有特殊字符的存在，最后的实际最长回文子串的长度是 max-1
    //比如 "#a#b#b#a#",max = 5,返回值为 4
    return max - 1;
}