1. 求函数最优值
1.1求一元函数的最小值
如果给定了一个一元数学函数，可以使用 fminbnd 函数求该函数在给定区间中的局部最小值。例如，请考虑 MATLAB® 提供的
humps.m
函数。下图显示了
humps
的图。
x = -1:.01:2;
y = humps(x);
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('humps(x)')
grid on
若要计算 humps 函数在 (0.3,1) 范围内的最小值，请使用
x = fminbnd(@humps,0.3,1)
x = 0.6370
您可以通过使用 optimset
创建选项并将
Display
选项设置为
'iter' 来查看求解过程的详细信息。将所得选项传递给
fminbnd
。
options = optimset('Display','iter');
x = fminbnd(@humps,0.3,1,options)
Func-count x f(x) Procedure
1 0.567376 12.9098 initial
2 0.732624 13.7746 golden
3 0.465248 25.1714 golden
4 0.644416 11.2693 parabolic
5 0.6413 11.2583 parabolic
6 0.637618 11.2529 parabolic
7 0.636985 11.2528 parabolic
8 0.637019 11.2528 parabolic
9 0.637052 11.2528 parabolic
Optimization terminated:
the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04
x = 0.6370
这种迭代输出显示了 x
的当前值以及每次计算函数时
f(x)
处的函数值。对于
fminbnd，一次函数计算对应一次算法迭代。最后一列显示
fminbnd 在每次迭代中使用的过程，即黄金分割搜索或抛物线插值。。
1.2 求多元函数的最小值
fminsearch 函数与
fminbnd
类似，不同之处在于前者处理多变量函数。请指定起始向量 x
0，而非起始区间。
fminsearch 尝试返回一个向量 x，该向量是数学函数在此起始向量附近的局部最小值。要尝试执行
fminsearch
，请创建一个三元（即
x
、
y
和
z
）函数
three_var
。
function b = three_var(v)
x = v(1);
y = v(2);
z = v(3);
b = x.^2 + 2.5*sin(y) - z^2*x^2*y^2;
现在，使用 x = -0.6
、
y = -1.2
和
z = 0.135
作为起始值求此函数的最小值。
v = [-0.6,-1.2,0.135];
a = fminsearch(@three_var,v)
a =
0.0000 -1.5708 0.1803
1.3 求函数最大值
fminbnd 和
fminsearch
求解器尝试求目标函数的最小值。如果您有最大化问题，即以下形式的问题：
然后定义 g(x) = –f(x)，并对 g 取最小值。
例如，要计算 tan(cos(x)) 在 x = 5 附近的最大值，请计算：
[x fval] = fminbnd(@(x)-tan(cos(x)),3,8)
x =
6.2832
fval =
-1.5574
最大值为 1.5574（报告的 fval 的负值），并出现在 x = 6.2832。此答案是正确的，因为最大值为 tan(1)= 1.5574（最多五位数），该值出现在 x = 2π = 6.2832 位置。
1.4 fminsearch 算法
fminsearch 使用 Lagarias 等人的著作 [1] 中所述的 Nelder-Mead 单纯形算法。此算法对 n 维向量 x 使用 n + 1 个点组成的单纯形。此算法首先向 x
0
添加各分量 x
0
(i) 的 5%，以围绕初始估计值 x
0 生成一个单纯形。然后，该算法使用上述 n 个向量作为单纯形的除 x
0
之外的元素。（如果 x0 (i) = 0，则算法使用0.00025 作为分量 i）。然后，此算法按照以下过程反复修改单纯形。 注意
fminsearch
迭代输出方式中的关键字在相应的步骤说明后以
粗体
形式显示。
步骤1 用 x(i) 表示当前单纯形中的点列表 i = 1,...,n + 1。
步骤2 按最小函数值 f(x(1)) 到最大函数值 f(x(n + 1)) 的顺序对单纯形中的点进行排序。在迭代的每个步骤 中，此算法都会放弃当前的最差点 x(n + 1) 并接受单纯形中的另一个点。[或者在下面的步骤 7 中，此算法会更改值在 f(x(1)) 上方的所有 n 个点。]
步骤3 生成反射点
r = 2m – x(n + 1)， (9-1)
其中
m = Σx(i)/n, i = 1...n， (9-2)
并计算 f(r)。
步骤4 如果 f(x(1)) ≤ f(r) < f(x(n))，则接受 r 并终止此迭代。
反射
步骤5 如果 f(r) < f(x(1))，则计算延伸点 s
s = m + 2(m – x(n + 1))， (9-3)
并计算 f(s)。
a 如果 f(s) < f(r)，接受 s 并终止迭代。
扩展
b 否则，接受 r 并终止迭代。
反射
步骤6 如果 f(r) ≥ f(x(n))，则在 m 和 x(n + 1) 或 r（取目标函数值较低者）之间执行收缩。
a 如果 f(r) < f(x(n + 1))（即 r 优于 x(n + 1)），则计算
c = m + (r – m)/2 (9-4)
并计算 f(c)。如果 f(c) < f(r)，则接受 c 并终止迭代。
外收缩
否则，继续执行步骤 7（收缩）。
b 如果 f(r) ≥ f(x(n + 1))，则计算
cc = m + (x(n + 1) – m)/2 (9-5)
并计算 f(cc)。如果 f(cc) < f(x(n + 1))，则接受 cc 并终止迭代。内收缩
否则，继续执行步骤 7（收缩）。
步骤7
计算 n 点
v(i) = x(1) + (x(i) – x(1))/2 (9-6)
并计算 f(v(i))，i = 2,...,n + 1。下一迭代中的单纯形为 x(1), v(2),...,v(n + 1)。收缩
下图显示了 fminsearch 可在此过程中计算的点以及每种可能的新单纯形。原始单纯形采用粗体边框。迭代将在符合停止条件之前继续运行。
2.非线性函数的数据拟合
此示例说明如何使用非线性函数对数据进行拟合。在本示例中，非线性函数是标准指数衰减曲线
y
(
t
) =
A
exp( −
λt
),
其中，y
(
t
)
是时间
t
时的响应，
A
和
λ 是要拟合的参数。对曲线进行拟合是指找出能够使误差平方和最小化的参数
A
和
λ
∑(i=1→n) [y
i
−
A
exp( −
λt
i
)]^
2
,
其中，时间为 t
i
，响应为
y
i
,
i
= 1, …,
n
。误差平方和为目标函数。
2.1 创建样本数据
通常，您要通过测量获得数据。在此示例中，请基于 A
= 40
和
λ
= 0 . 5 且带正态分布伪随机误差的模型创建人工数据。
rng default % for reproducibility
tdata = 0:0.1:10;
ydata = 40*exp(-0.5*tdata) + randn(size(tdata));2.2 编写目标函数
编写一个函数，该函数可接受参数 A
和
lambda
以及数据
tdata
和
ydata
，并返回模型
y
(
t
) 的误差平方和。将要优化的所有变量（
A
和
lambda
）置入单个向量变量 (
x)。
type sseval
function sse = sseval(x,tdata,ydata)
A = x(1);
lambda = x(2);
sse = sum((ydata - A*exp(-lambda*tdata)).^2);
将此目标函数保存为 MATLAB® 路径上名为 sseval.m 的文件。fminsearch
求解器适用于一个变量
x
的函数。但
sseval
函数包含三个变量。额外变量
tdata
和
ydata
不是要优化的变量，而是用于优化的数据。将
fminsearch
的目标函数定义为仅含有一个变量
x
的函数：
fun = @(x)sseval(x,tdata,ydata);
有关包括额外参数（例如
tdata
和
ydata
）的信息，请参阅“参数化函数” 。
2.3 求最优拟合参数
从随机正参数集 x0
开始，使用
fminsearch
求使得目标函数值最小的参数。
x0 = rand(2,1);
bestx = fminsearch(fun,x0)
bestx = 2×1
40.6877
0.4984
结果 bestx
与生成数据的参数
A = 40
和
lambda = 0.5
相当接近。
2.4 检查拟合质量
要检查拟合质量，请绘制数据和生成的拟合响应曲线。根据返回的模型参数创建响应曲线。
A = bestx(1);
lambda = bestx(2);
yfit = A*exp(-lambda*tdata);
plot(tdata,ydata,'*');
hold on
plot(tdata,yfit,'r');
xlabel('tdata')
ylabel('Response Data and Curve')
title('Data and Best Fitting Exponential Curve')
legend('Data','Fitted Curve')
hold off
