本篇总结动态规划中的路径问题模型的解法和思路

按照以下流程进行分析题目和代码编写

思路分析步骤	代码编写步骤
1, 状态表示	1, 构造 dp 表
2, 状态转移方程	2, 初始化+边界处理
3, 初始化	3, 填表(抄状态转移方程)
4, 填表顺序	4, 返回结果
5, 返回值	/

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一、不同路径I

1, 题目

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题目分析: 从二位数组的左上角到右下角的路径总数, 只能往下或往右

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2, 思路分析

2.1, 状态表示

根据题目要求, 要我们算出到右下角的路径条数, 我们要构造一个dp表(二位数组), 表中的某个值就是我们想要的结果, 如果我们能先算出到达网格中任意位置的路径总数, 那么也能算出右下角的路径总数

状态表示 : 以 [i][j] 位置为终点, dp[i][j] 就是走到 [i][j] 位置时的路径总数

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2.2, 状态转移方程

以 [i][j] 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论
要到达某个位置, 有两种方式 : 从上边过来或从左边过来, 所以 dp[i][j] 依赖上边和左边两个位置的值

• 如果 : 起点 --> 当前位置的上方的路径总数 = X, 那么 : 起点 --> 当前位置的路径总数 = X (X = dp[i - 1][j])
• 如果 : 起点 --> 当前位置的左方的路径总数 = Y, 那么 : 起点 --> 当前位置的路径总数 = Y (Y = dp[i][j - 1])

所以 : 起点 --> 当前位置的路径总数 = X + Y, 那么状态转移方程 : dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

注意理解, 为啥从起点 --> 当前位置的上方的路径总数 = X, 那么从起点 --> 当前位置路径总数不是 = X + 1 ?
因为从上方到当前位置只是需要多走一步, 而不是多了一种方式
比如从市中心到火车站有 4 种方式 : 骑自行车, 骑电动车, 坐公交车, 坐出租车, 这些才是方式, 哪怕下了车之后再走 100 步才能真正到火车站检票口, 也只有 4 种方式

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2.3, 初始化

初始化是为了填表的时候不越界访问

根据状态转移方程可以分析出, dp[i][j] 依赖上面和左面值, 所以在表中的第一行和第一列的值需要手动填

更推荐的方式是 : 给出虚拟位置, 也就是建表的时候多建一行, 一列, 经过分析, 把 dp[0][1] 位置初始化成 1 即可(虽然看似没有第一种方式简单, 但对于更复杂的 dp 问题, 使用虚拟位置的方式可能反而会更容易)

使用添加虚拟位置辅助初始化的方式, 一定要注意和原表中的下标映射关系!!

初始化 : dp[0][1] = 1

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2.4, 填表顺序

由于dp[i][j] 依赖上面和左面值, 所以填表顺序是从上到下, 从左往右

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2.5, 返回值

要我们求到达右下角的路径总数, 就是 dp[m][n]

题目给定的网格大小是 m X n 大小的, 那么右下角的坐标对应到二维数组中应该是 [m - 1][n - 1]
但是我们初始化时选择多加一行一列, 所以返回 [m][n] 下标的值正好是原来表中的右下角

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3, 代码

 public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 构造dp表
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        // 初始化
        dp[0][1] = 1;
        // 填表 (抄状态转移方程)
        for(int i =  1; i <= m; i++ ) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        // 返回值
        return dp[m][n];
    }

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二、不同路径II

1, 题目

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和上题基本一致, 只是多了一个障碍物, 障碍物无法到达, 所以 dp 表中这个位置的值必须填成 0

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2, 思路分析

2.1, 状态表示

参考上题

状态表示 : 以 [i][j] 位置为终点, dp[i][j] 就是走到 [i][j] 位置时的路径总数

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2.2, 状态转移方程

以 [i][j] 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论 参考上题 :

(需注意 : 每个位置都要判断此位置是否为障碍物, 如果为障碍物, dp[i][j] 置为 0 , 否则 : )
状态转移方程 : dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

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2.3, 初始化

初始化是为了填表的时候不越界访问

同上题

参考上题 : 初始化 : dp[0][1] = 1

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2.4, 填表顺序

同上题, 由于dp[i][j] 依赖上面和左面值, 所以填表顺序是从上到下, 从左往右

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2.5, 返回值

要我们求到达右下角的路径总数, 就是 dp[m][n]

题目给定的网格大小是 m X n 大小的, 那么右下角的坐标对应到二维数组中应该是 [m - 1][n - 1]
但是我们初始化时选择多加一行一列, 所以返回 [m][n] 下标的值正好是原来表中的右下角

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3, 代码

注意判断障碍物

	public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        // 构造dp表
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        // 初始化
        dp[0][1] = 1;
        // 填表
        for( int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
            	// 先判断当前位置是否为障碍物
                if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 0) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }else {
                    dp[i][j] = 0; 
                }
            }
        }
        // 返回值
        return dp[m][n];
    }

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三、礼物最大价值

1, 题目

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和前两题不同, 本题要求的是走到右下角位置时, 路径上的最大和

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2, 思路分析

2.1, 状态表示

我们需要构造 dp 表, 要求最终的路径最大和, 划分子问题后 : 可以先求出到达途中任意位置的最大和(每次都是二选一, 取最优解)

所以 状态表示 : 以 [i][j] 位置为终点, dp[i][j] 表示该路径上的最大和

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2.2, 状态转移方程

以 [i][j] 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论, 要求 dp[i][j], 有两种情况

• 从 上方 过来 : ( dp 表中)以上方为终点时的最大和 + (原表中)此位置的礼物价值
• 从 左方 过来 : ( dp 表中)以左方为终点时的最大和 + (原表中)此位置的礼物价值

要保证到达 [i][j] 位置时, 获取的礼物价值总和最大, 就要对这两种方式的结果取最大值

状态转移方程 : dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 当前位置的礼物价值

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2.3, 初始化

初始化是为了填表的时候不越界访问

参考前两题, 同样可以使用添加虚拟位置的方式辅助初始化, 但要保证 : 由于本题求的是"最大值", 前面也分析了每个位置的都要保证取到 “左” 和 “上” 二者较大值, 所以虚拟位置中的值不能影响到填表过程的取值情况

按理说, 虚拟位置的值填成 Integer.MIN_VALUE 就能保证不被干扰, 但题目中已经说明了所有的礼物价值 > 0 , 所以虚拟位置无需初始化, 默认值为 0 也可以

使用添加虚拟位置辅助初始化的方式, 一定要注意和原表中的下标映射关系!!

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2.4, 填表顺序

同上题, 由于dp[i][j] 依赖上面和左面值, 所以填表顺序是从上到下, 从左往右

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2.5, 返回值

要我们求到达右下角时的最大和, 就是 dp[m][n]

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3, 代码

状态转移方程为 : dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 当前位置的礼物价值

当前位置的礼物价值在原表中,一定要注意原表中的下标和我们构造的(添加了虚拟位置)的 dp 表的下标映射关系

    public int maxValue(int[][] grid) {
        // 创建dp表
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        // 初始化
        // 填表
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
            	// 注意dp表的下标和grid表的下标映射关系!!
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

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四、下降路径最小和

1, 题目

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从任意位置下降时, 只能走正下方, 或左下角, 或右下角

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2, 思路分析

2.1, 状态表示

我们要求下降到最底下一层时, 最小的下降路径和, 划分子问题 : 我们可以求出(从第一层任意位置出发) 到任意位置的最小下降路径和, 然后再求出到最后一层的结果

状态表示 : 以 [i][j] 位置为终点, dp[i][j]表示到达 [i][j] 位置时 下降路径的最小和

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2.2, 状态转移方程

以 [i][j] 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论, 要到达 [i][j] 位置, 有三种方式 :

• 从 [i][j] 位置的正上方下来

• 从 [i][j] 位置的左上角下来

• 从 [i][j] 位置的右上角下来

结合状态表示可知 : 位于 [i][j] 位置的正上方时, 也就是 [i - 1][j] 位置的最小下降路径和可以用 dp[i - 1][j] 来表示, 那么 `这种情况下 dp[i][j] 的值就是 dp[i - 1][j] 的值加上, 原表中 [i][j] 位置的值, 所以, 要求 dp[i][j] 就分为三种情况

• 从 [i][j] 位置的正上方下来时 : dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 原表中 [i][j] 的值
• 从 [i][j] 位置的左上角下来时 : dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 原表中 [i][j] 的值
• 从 [i][j] 位置的右上角下来时 : dp[i][j] = dp[i - 1][j + 1] + 原表中 [i][j] 的值

所以状态转移方程 : dp[i][j] = (dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])三者最小值 + 原表中 [i][j] 的值

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2.3, 初始化

初始化是为了填表的时候不越界访问

和前面的题类似, 给出虚拟位置, 根据前面的分析可知, 第一行, 第一列, 和最后一列, 套用状态转移方程时, 就会越界访问, 所以我们虚拟出这些位置, 相当于把原来的表半包围着

题中示例说明了, 原表中的值有可能时复数, 那我们虚拟位置的值默认成 0 还可行吗? 答案是否定的, 我们应该把虚拟位置中第一列和最后一列的值都初始化成 Integer.MAX_VALUE

使用添加虚拟位置辅助初始化的方式, 一定要注意和原表中的下标映射关系!!

初始化 : 第一列和最后一列的值为 Integer.MAX_VALUE

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2.4, 填表顺序

填表顺序是从上到下

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2.5, 返回值

和前面的题不同, 本题只要到达最后一行即可, 所以应该返回dp 表中最后一行的最小值

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3, 代码

   public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        // 创建dp表
        int n = matrix.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 2];
        // 初始化
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = Integer.MAX_VALUE;
            dp[i][n + 1] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        // 填表
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], 
                            Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i -1][j -1];
            }
        }
        // 返回值
        int ret = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            ret = Math.min(ret, dp[n][i]);
        }
        return ret;
    }

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五、最小路径和

1, 题目

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题目分析: 从二位数组的左上角到右下角的路径总和, 只能往下或往右

本篇第一题是求路径总数, 这一题是求路径总和

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2, 思路分析

2.1, 状态表示

划分子问题思想, 先求出从起点到达任意位置的路径总数, 把 dp 表填满, 右下角的值即为所求

状态表示 : 以 [i][j] 位置为终点, dp[i][j] 就是走到 [i][j] 位置时的路径总和

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2.2, 状态转移方程

以 [i][j] 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论
要到达某个位置, 有两种方式 : 从上边过来或从左边过来, 所以 dp[i][j] 依赖上边和左边两个位置的值

• 如果 : 起点 --> 当前位置的上方的路径总和 = X, 那么 : 起点 --> 当前位置的路径总和 = X + 原表中当前位置的值(X = dp[i - 1][j])
• 如果 : 起点 --> 当前位置的左方的路径总和 = Y, 那么 : 起点 --> 当前位置的路径总和 = Y + 原表中当前位置的值(Y = dp[i][j - 1])

所以状态转移方程 : dp[i][j] = (dp[i - 1][j] , dp[i][j - 1]) 取最小值 + 原表中当前位置的值

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2.3, 初始化

初始化是为了填表的时候不越界访问

给出虚拟位置 , 建表的时候多建一行, 一列, 经过分析, 每次都要取最小值, 所以虚拟位置的值应该填为 Integer.MAX_VALUE, 但第一行的 [1] 下标和第一列的 [1] 下标需要设置成 0

使用添加虚拟位置辅助初始化的方式, 一定要注意和原表中的下标映射关系!!

初始化 : 第一行第一列的值为 Integer.MAX_VALUE, dp[0][1] = 1 , dp[1][0] = 1

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2.4, 填表顺序

由于dp[i][j] 依赖上面和左面值, 所以填表顺序是从上到下, 从左往右

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2.5, 返回值

要我们求到达右下角的路径总和, 就是 dp[m][n]

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3, 代码

public int minPathSum(int[][] grid) {
        // 1, 构造dp表
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp  = new int[m + 1][n + 1];
        // 2, 初始化
        for(int i = 0; i <= m;i++) {
            dp[i][0] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i = 0; i <= n;i++) {
            dp[0][i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        dp[0][1] = 0;
        dp[1][0] = 0;
        // 3, 填表
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j -1]) + grid[i - 1][j - 1];
            }
        }
        // 4, 返回值
        return dp[m][n];
    }

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五、地下城游戏(较难)

1, 题目

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题目分析: 和上一题的行走方式一致, 本题要求至少有多少血才能走到右下角

需注意 : 原表中的值为负, 说明走到此位置会扣血, 如果原表中的值为正, 走到此位置会加血, 走到任意位置都要保证至少有 1 滴血即可,包括走到右下角时

比如当前有 5 滴血, 但下一步要扣 5(或 6) 滴血, 那么到下一步时, 没血了就死了

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2, 思路分析

2.1, 状态表示

仍然使用划分子问题思想

但如果和之前的题一样, 以某位置为结尾考虑, 先求出从起点到达任意位置的路径总数, 这样无法推导出状态转移方程, 因为在某位置时, 会受到后面位置的影响(

本题中, 如果以某一位置为结尾, 求出至少需要的血量, 那你怎么知道会不会有某个位置要扣 999 滴血? 是无法预知的, 这种情况称为 “有后效性”

我们换个方向思考, 尝试以某一位置为起点, 需要多少血才能到达终点

画图

状态表示 : dp[i][j] 表示以 [i][j] 位置为起点, 到达终点需要的最少血量

如果 dp[i][j] 的值为 5, 在本题中就可以理解为, 在 [i][j] 位置时, 有 5 滴血就能走到终点

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2.2, 状态转移方程

以 [i][j] 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论
从某个位置( [i][j] )为起点出发, 有两种情况

• 如果 : 当前位置( [i][j] ) --> 向右走( [i][j + 1] )

• 如果 : 当前位置( [i][j] ) --> 向下走( [i + 1][j] )

以第一种情况为例 : 根据状态表示可知, dp[i][j + 1] 表示有 dp[i][j + 1] 滴血就能走到终点, 如何求出 dp[i][j] ?

• 假设需要 dp[i][j] = X, 即 : 当前有 X 滴血才能走到终点
• • 假设原表中当前位置的值为 -999
    
• • 假设原表中当前位置的值为 +999
    

所以 X >= dp[i][j + 1] - 原表中当前位置的值 就能走到终点, 要求最小血量, 取等号即可

所以状态转移方程 : dp[i][j] = (dp[i][j + 1] , dp[i + 1][j]) 取最小值 + 原表中当前位置的值, 填表后一定要判断dp[i][j] <= 0 的情况 ! !

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2.3, 初始化

初始化是为了填表的时候不越界访问

• 给出虚拟位置 , 由于dp[i][j] 依赖右边和下边的值, 建表的时候在最下面多建一行, 最右边多建一列

• 经过分析, 每次都要取最小值, 虚拟位置的值不应该干扰填表, 所以虚拟位置的值应该填为 Integer.MAX_VALUE,

• 并且走到原表右下角之后还应该保证至少有 1 滴血, 所以最后一行和最后一列的倒数第二个位置应该填为 1

使用添加虚拟位置辅助初始化的方式, 一定要注意和原表中的下标映射关系!!

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2.4, 填表顺序

由于dp[i][j] 依赖下面和右面值, 所以填表顺序是从下往上, 从右往左

和之前的题都不一样!!

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2.5, 返回值

要求一开始至少有多少血才能走到终点, 应该返回 dp[0][0]

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3, 代码

    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        // 1, 构建dp表
        int m = dungeon.length;
        int n = dungeon[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        // 2, 初始化
        for(int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][n] = Integer.MAX_VALUE; 
        }
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            dp[m][i] = Integer.MAX_VALUE; 
        }
        dp[m - 1][n] = 1;
        dp[m][n -1 ] = 1;
        // 3, 填表
        for(int i = m - 1; i >= 0; i--) {
            for(int j = n - 1; j >= 0; j--) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], 1);
            }
        }
        // 4, 返回值
        return dp[0][0];
    }