文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频，本篇文章提供了一些基础知识点，比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。
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基础知识点
Part1：三角函数系的正交性
Part2：T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为T=2L的函数展开
Part4：傅里叶级数的复数形式
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结
文章目录
- Part4：傅里叶级数的复数形式
- Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
- 总结
Part4：傅里叶级数的复数形式
前面的部分得到了对于周期为 T T T的函数，有 L = 2 T L = \frac{2}{T} L=T2其傅里叶级数的展开函数形式：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n ω t + b n s i n n ω t ) a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t \begin{align} f(t) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t \right) \\ a_0 & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \\ a_n & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt \\ b_n & = \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \end{align} f(t)a0anbn=2a0+n=1∑∞(ancosnωt+bnsinnωt)=T2∫0Tf(t)dt=T2∫0Tf(t)cosnωtdt=T2∫0Tf(t)sinnωtdt
在了解傅里叶级数的复数形式之前，需要了解欧拉公式
e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
由欧拉公式可以得到：
c o s θ = e i θ + e − i θ 2 s i n θ = − i 2 ( e i θ − e − i θ ) \begin{align} cos \theta = \frac{e^{i \theta } + e^{-i \theta}}{2} \\ sin \theta = - \frac{i}{2} (e^{i \theta } - e^{-i \theta}) \end{align} cosθ=2eiθ+e−iθsinθ=−2i(eiθ−e−iθ)
计算 c o s θ cos \theta cosθ和 s i n θ sin \theta sinθ的方法，令 θ = − θ \theta = - \theta θ=−θ，代入欧拉公式，组成一个方程组：
{ e i θ = c o s θ + i s i n θ e − i θ = c o s θ − i s i n θ \left\{\begin{matrix} e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta \\ e^{-i \theta} = cos \theta - i sin \theta \end{matrix}\right. {eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cosθ−isinθ
两式相加得到 c o s θ cos \theta cosθ，两式相减得到 s i n θ sin \theta sinθ。
将复数形式得到的 c o s θ cos \theta cosθ和 s i n θ sin \theta sinθ代入傅里叶级数展开函数，有：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 ( e i n ω t + e − i n ω t ) − i b n 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n 2 e i n ω t + a n + i b n 2 e − i n ω t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t + ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 e − i n ω t \begin{align} f(t) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n}{2} (e^{in \omega t} + e^{-i n \omega t}) - \frac{i b_n} {2} (e^{i n \omega t} - e^{-i n \omega t}) \right) \\ & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} + \frac{a _n + i b_n}{2} e^{-i n \omega t}\right) \\ & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a _n + i b_n}{2} e^{-i n \omega t} \end{align} f(t)=2a0+n=1∑∞(2an(einωt+e−inωt)−2ibn(einωt−e−inωt))=2a0+n=1∑∞(2an−ibneinωt+2an+ibne−inωt)=2a0+n=1∑∞2an−ibneinωt+n=1∑∞2an+ibne−inωt
对上式第三项，令 n = − n n=-n n=−n，转换为：
f ( t ) = ∑ n = 0 0 a 0 2 e i n ω t + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t + ∑ n = − ∞ − 1 a − n + i b − n 2 e i n ω t f(t) = \sum_{n=0}^{0} \frac{a_0}{2} e^{i n \omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} + \sum_{n=- \infty}^{-1} \frac{a _{-n} + i b_{-n} } {2} e^{i n \omega t} f(t)=n=0∑02a0einωt+n=1∑∞2an−ibneinωt+n=−∞∑−12a−n+ib−neinωt
可以发现在区间 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty, \infty) (−∞,∞)之间有共同项 e i n ω t e^{i n \omega t} einωt，令共同项的系数为 C n C_n Cn，那么就得到：
f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t C n = { a 0 2 , n = 0 1 2 ( a n − i b n ) ， n = 1 , 2 , 3 , . . . 1 2 ( a − n + i b − n ) ， n = − 1 , − 2 , − 3 , . . . f(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{in \omega t} \\ C_n = \left\{\begin{matrix} \frac{a_0}{2}, & n=0 \\ \frac{1}{2}\left( a_n - i b_n \right)， & n= 1, 2,3,... \\ \frac{1}{2} \left ( a_{-n} + i b_{-n} \right)， & n = -1, -2, -3, ... \end{matrix}\right. f(t)=−∞∑∞CneinωtCn=⎩ ⎨ ⎧2a0,21(an−ibn)，21(a−n+ib−n)，n=0n=1,2,3,...n=−1,−2,−3,...
将 a 0 a_0 a0、 a n a_n an、 b n b_n bn代入到 C n C_n Cn
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n ω t + b n s i n n ω t ) a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t \begin{align} f(t) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t \right) \\ a_0 & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \\ a_n & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt \\ b_n & = \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \end{align} f(t)a0anbn=2a0+n=1∑∞(ancosnωt+bnsinnωt)=T2∫0Tf(t)dt=T2∫0Tf(t)cosnωtdt=T2∫0Tf(t)sinnωtdt
当 n = 0 n=0 n=0时，
C n = a 0 2 = 1 2 ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t C_n = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt Cn=2a0=21⋅T2∫0Tf(t)dt=T1∫0Tf(t)dt
当 n > 0 , n ∈ Z n>0, n \in Z n>0,n∈Z时，
C n = 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t ] = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( c o s n ω t − s i n n ω t ) d t c o s n ω t − s i n n ω t = c o s ( − n ω t ) + s i n ( − n ω t ) = e − i n ω t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt - i \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \right] \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \left ( cos n \omega t - sin n \omega t \right) dt \\ cos n \omega t - sin n \omega t = cos (- n \omega t) + sin (- n \omega t) = e^{- i n \omega t} \\ C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} dt Cn=21[T2∫0Tf(t)cosnωtdt−iT2∫0Tf(t)sinnωtdt]=T1∫0Tf(t)(cosnωt−sinnωt)dtcosnωt−sinnωt=cos(−nωt)+sin(−nωt)=e−inωtCn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt
当 n < 0 , n ∈ Z n<0, n \in Z n<0,n∈Z时，
C n = 1 2 ( a − n + i b − n ) = 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( − n ω t ) d t + i ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( − n ω t ) d t ] = 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( − n ω t ) + s i n ( − n ω t ) ] d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t C_n = \frac{1}{2} \left ( a_{-n} + i b_{-n} \right) \\ = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos \left( - n \omega t \right) dt + i \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin (- n \omega t) dt \right] \\ = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t) \left[ cos (- n \omega t) + sin (- n \omega t) \right] dt \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} Cn=21(a−n+ib−n)=21[T2∫0Tf(t)cos(−nωt)dt+i⋅T2∫0Tf(t)sin(−nωt)dt]=T1∫0Tf(t)[cos(−nωt)+sin(−nωt)]dt=T1∫0Tf(t)e−inωt
当 n = 0 n=0 n=0时，
C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} dt Cn=T1∫0Tf(t)dt=T1∫0Tf(t)e−inωtdt
从上面可以看出来，在 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty , \infty) (−∞,∞)区间内， C n C_n Cn可以统一到一个形式： C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e ^{- i n \omega t}dt Cn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt。
总结，对于一个周期为 T T T的函数 f ( t ) = f ( t + T ) f(t) = f(t+T) f(t)=f(t+T)，其复数形式的傅里叶展开函数为：
f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t f(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega t} \\ C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t}dt f(t)=−∞∑∞CneinωtCn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
前面得到了周期函数复数形式的傅里叶展开函数，令 ω 0 = 2 π T \omega _0 = \frac{2 \pi}{T} ω0=T2π， ω 0 \omega_0 ω0被称为基频率。
f T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω 0 t C n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t 其中 n ∈ Z \begin{align} & f_T(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega_0 t} \\ & C_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{- i n \omega_0 t}dt \\ & 其中n \in Z \end{align} fT(t)=−∞∑∞Cneinω0tCn=T1∫−2T2TfT(t)e−inω0tdt其中n∈Z
对于一个周期函数，假设其图示如下，横坐标为 t t t，纵坐标为对应的值，这是在时域空间上的图。
如果采用如下图所示的坐标系，以 n ω 0 n \omega_0 nω0为 x x x坐标，实轴和虚轴分别为 z z z和 y y y坐标，这是在频域空间上的图，也称为频谱图。可能其分布如下(如下值是随机绘制的，不对应上图，假设存在这样的频谱图)。
令两个频率之间的距离为 Δ ω \Delta \omega Δω，那么 Δ ω = ( n + 1 ) ω 0 − n ω 0 = ω 0 = 2 π T \Delta \omega = (n+1) \omega_0 - n \omega_0 = \omega_0 = \frac{2 \pi}{T} Δω=(n+1)ω0−nω0=ω0=T2π，可以得到 1 T = Δ ω 2 π \frac{1}{T} = \frac{\Delta \omega}{2 \pi} T1=2πΔω。
当周期 T T T趋近于 ∞ \infty ∞时，周期函数就变为了非周期函数 lim T → ∞ f T ( t ) = f ( t ) \lim_{T \to \infty} f_T(t) = f(t) limT→∞fT(t)=f(t)， Δ ω \Delta \omega Δω就变成了0，从而离散函数变为了连续函数。
将 C n C_n Cn及 1 T \frac{1}{T} T1代入到傅里叶级数展开函数：
f T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ Δ ω 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t f_T(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{-i n \omega_0 t} dt e^{i n \omega_0 t} fT(t)=−∞∑∞2πΔω∫−2T2TfT(t)e−inω0tdteinω0t
当 T → ∞ T \to \infty T→∞时，令 n ω 0 = ω n \omega_0 = \omega nω0=ω， ∫ − T 2 T 2 d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} dt \to \int_{- \infty}^{\infty} dt ∫−2T2Tdt→∫−∞∞dt， ∑ − ∞ ∞ Δ ω → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum_{- \infty}^{\infty} \Delta \omega \to \int_{- \infty}^{\infty} d \omega ∑−∞∞Δω→∫−∞∞dω。代入到上面的式子：
lim T → ∞ f T ( t ) = f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ) e i ω t d ω \lim_{T \to \infty} f_T(t) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \left( \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{- i \omega t} dt \right) e^{i \omega t} d \omega T→∞limfT(t)=f(t)=2π1∫−∞∞(∫−∞∞f(t)e−iωtdt)eiωtdω
中间括号括起来的部分就是傅里叶变换函数 F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{- i \omega t} dt F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt，而 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( T ) e i ω t d ω f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} f(T) e^{i \omega t} d \omega f(t)=2π1∫−∞∞f(T)eiωtdω是傅里叶变换的逆变换。
总结
在Part1中，认识到三角函数系的正交性，有：
∫ − π π s i n n x c o s m x = 0 ∫ − π π c o s n x s i n m x = 0 ∫ − π π c o s n x c o s m x = { 0 , m ≠ n 2 π , m = n = 0 π , m = n ≠ 0 ∫ − π π s i n n x c o s m x = { 0 , m ≠ n 或 m = n = 0 π , m = n ≠ 0 \begin{align} & \int_{-\pi}^{\pi} sin n x cos m x = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi}cos n x sin m x = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos n x cos m x = \left\{ \begin{matrix} 0 , & m \ne n \\ 2 \pi , & m = n =0 \\ \pi , & m = n \ne 0 \end{matrix} \right. \\ & \int_{- \pi}^{\pi} sin n x cos m x = \left\{ \begin{matrix} 0, & m \ne n 或 m = n =0 \\ \pi , & m = n \ne 0 \end{matrix} \right. \end{align} ∫−ππsinnxcosmx=0∫−ππcosnxsinmx=0∫−ππcosnxcosmx=⎩ ⎨ ⎧0,2π,π,m=nm=n=0m=n=0∫−ππsinnxcosmx={0,π,m=n或m=n=0m=n=0
在Part2中，推导了 T = 2 π T = 2 \pi T=2π的周期函数的傅里叶级数展开为：
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n cos nx + b_n sin nx \right) f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
计算 a 0 a_0 a0，对 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间积分，得到 a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx a0=π1∫−ππf(x)dx。
计算 a n a_n an，等式两边同乘以 c o s m x cos mx cosmx，然后计算在 [ − π , π ] [- \pi, \pi] [−π,π]之间的积分，得到 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos nx dx an=π1∫−ππf(x)cosnxdx。计算 b n b_n bn，等式两边同乘以 s i n m x sin mx sinmx，然后计算在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间的积分，得到 b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin nx dx bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx。
在Part3中，推导了 T = 2 L T=2L T=2L的周期函数的傅里叶级数展开为，令 x = π L t → t = L π x x = \frac{\pi}{L}t \to t = \frac{L}{\pi}x x=Lπt→t=πLx，将 x x x代入Part2中的公式，得到：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n π L t + b n s i n n π L t ) a 0 = 1 L ∫ − L L f ( t ) d t a n = 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s n π L t d t b n = 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n n π L d t \begin{align} & f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n cos \frac{n \pi}{L}t + b_n sin \frac{n \pi}{L}t \right) \\ & a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) dt \\ & a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) cos \frac{n \pi}{L}t dt \\ & b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) sin \frac{n \pi}{L}dt \end{align} f(t)=2a0+n=1∑∞(ancosLnπt+bnsinLnπt)a0=L1∫−LLf(t)dtan=L1∫−LLf(t)cosLnπtdtbn=L1∫−LLf(t)sinLnπdt
在Part4中，使用欧拉公式，用复指数的形式得到周期为 T T T的周期函数的傅里叶级数展开，该形式使得函数看起来更简洁，经过一系列变换，用 C n C_n Cn替代了上面复杂的系数，令 ω 0 = 2 π T \omega _0 = \frac{2 \pi}{T} ω0=T2π：
f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω 0 t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω 0 t d t f(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega_0 t} \\ C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega_0 t}dt f(t)=−∞∑∞Cneinω0tCn=T1∫0Tf(t)e−inω0tdt
在Part5中，从傅里叶级数展开函数推导出傅里叶变换及反变换函数。当周期 T T T趋近于 ∞ \infty ∞时，周期函数会变为非周期函数，此时从离散数据变为了连续数据，令 ω = n ω 0 \omega = n \omega_0 ω=nω0；又有 ∑ − ∞ ∞ ω 0 → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum_{- \infty}^{\infty} \omega_0 \to \int_{-\infty}^{\infty}d \omega ∑−∞∞ω0→∫−∞∞dω， ∫ 0 T d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{0}^{T} dt \to \int_{- \infty}^{\infty} dt ∫0Tdt→∫−∞∞dt，就得到非周期函数的傅里叶级数展开函数为：
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ) e i ω t d ω f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left ( \int_{- \infty}^{\infty} f(t)e ^{- i \omega t} dt \right) e^{i \omega t } d \omega f(t)=2π1∫−∞∞(∫−∞∞f(t)e−iωtdt)eiωtdω
中间括号部分就是傅里叶变换函数$F(\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt ，而 ，而 ，而f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty}F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$是傅里叶变换的逆变换。
