初步介绍

在学习Gamma分布之前，有必要复习一下Poisson分布：泊松分布

Poisson分布指的是，单个事件在某一刻发生的概率。Gamma分布更进一步，指的是某个事件在某个时刻发生第$n$次的概率。

$$p(x)=x^{k-1}\frac{e^{-\lambda x}}{{\lambda }^k\Gamma (k)}$$

其中，$k$为形状参数，$\lambda$为尺度参数，固定尺度参数$\lambda$，给定不同的$k$值，可得到不同型形状的$\Gamma$分布的概率曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import gamma

for k in [0.8, 1.5, 3.5]:
    xs = gamma(k, size=20000)
    plt.hist(xs, 200, range=(0,10), 
        alpha=0.5, label=f"k={k}")

plt.legend()
plt.show()

其分布如下图所示

形状特征

一般来说，当$k<1$时，$p(x)$为单调递减函数，对应图中$k=0.8$时，概率密度逐渐下降的情况；当$k\in (1,2)$时，$p(x)$先上凸，然后下凸，由于上图画的是随机点的直方图，所以对凹凸性的展现并不明显。当$k>2$时，$p(x)$在增函数区间，是先下凸然后上凸的。

特别地，当$k=1$时，$\Gamma$分布的概率密度变为

$$p(x)=\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda }$$

此为指数分布，有关指数分布，请看这里Pyhton威布尔分布

令$k=\frac{n}{2}$，$\lambda =\frac{1}{2}$，则其表达式变为

$$p(x)=\frac{x^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{\lambda }{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}$$

此即具有$n$个自由度的卡方分布，有关卡方分布请戳这里：Python卡方分布

尺度因子$k$可以调整分布曲线的胖瘦，需要注意的是，在gamma函数中，输入的尺度因子是$\lambda$的倒数。接下来对$\lambda =2,1,0.5$这三种情况进行仿真

ks = [0.8, 1.5, 3.5]
fig = plt.figure()
for i in range(3):
    ax = fig.add_subplot(1,3,i+1)
    ax.set_title(f"k={ks[i]}")
    for lam in [1/2, 1, 2]:
        xs = gamma(ks[i], lam, size=20000)
        ax.hist(xs, 200, range=(0,10), 
            alpha=0.5, label=f"lambda={1/lam}")
    plt.legend()

plt.show()

得到不同k值时的分布情况

可见，$\lambda$越小，则分布越矮胖。

最后，测试一下$\Gamma$函数的期望与方差，根据其概率密度函数，可以求得其期望和方差分别为

$$E=\frac{k}{\lambda },{\sigma }^2=\frac{k}{{\lambda }^2}$$

接下来对其进行测试

k, lam = 1.5, 2
xs = gamma(k, 1/lam, size=20000)
print("理论期望", k/lam, "\t理论方差", k/lam**2)
print("实际期望", np.mean(xs), "\t实际方差", np.cov(xs))

得到输出

理论期望 0.75   理论方差 0.375
实际期望 0.7550140115027265     实际方差 0.3794021804397493