前言

今天的干货是基于昨天的十字相乘来讲的，不知道十字相乘的，可以看一看我这篇博客十字相乘

二元二次式的分解

研究对象

普通二元二次式和三元齐次式

类型

普通二元二次式

基本形式

关于x和y的普通二元二次式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f$

分解方法

1. 将式子按基本形式理顺
2. 把$a{x}^2$、$bxy$、$c{y}^2$、$dx$、$ey$、$f$ 拆开看
3. 先将$a{x}^2$和$c{y}^2$进行十字相乘凑$bxy$,再将$c{y}^2$系数拆开的2个因数和$f$进行十字相乘，如图：
   
   
4. 将$a{x}^2$和$f$拆成的因数交叉相乘的和求出
5. 若得到的和$=d$,跳到6，否则跳到3
6. 第一行3个数分别为 2 -3 4 写成 $(2x-3y+4)$,第二行3个数分别为 3 2 -5 写成 $(3x+2y-5)$
7. 拼起来得 $(2x-3y+4)(3x+2y-5)$

总体总结——长十字相乘

这就是为什么第五章的知识尤其重要，长十字相乘中用到2个普通二次三项式和1个二次齐次式

注意

建议再长十字相乘中将(x) (y) (1)标清楚

三元齐次式

基本形式

关于x、y、z 的三元齐次式$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dxz+eyz+f{z}^2$

分解方法

1. 将式子按基本形式理顺
2. 把$a{x}^2$、$bxy$、$c{y}^2$、$dxz$、$eyz$、$f{z}^2$ 拆开看
3. 先将$a{x}^2$和$c{y}^2$进行十字相乘凑$bxy$,再将$c{y}^2$系数拆开的2个因数和$f{z}^2$进行十字相乘，如图：
   
   
4. 将$a{x}^2$和$f{z}^2$拆成的因数交叉相乘的和求出
5. 若得到的和$=d$,跳到6，否则跳到3
6. 第一行3个数分别为 1 -3 -2 写成 $(x-3y-2z)$,第二行3个数分别为 1 -3 -3 写成 $(x-3y-3z)$
7. 拼起来得 $(x-3y-2z)(x-3y-3z)$

总体总结——长十字相乘

长十字相乘中用到3个二次齐次式

注意

将(x) (y) (z) 标清楚，别忘了z

提示

1. 当某项系数为0（或不存在) 时，式子分解起来 更为简单。
2. 普通二元二次式和三元齐次式不是一定能分解的

习题6

题目

题解