1 概述

我们前面学习过关于二叉树的算法已经能够很好地用于许多应用中，但他们在对坏情况下的性能很糟糕。比如将有序数列插入二叉查找树中，二叉查找树实际退化为单链表，时间复杂度为线性。在一棵含有N个结点的树中，我们希望树高为$\sim \lg N$，这样我们就能保证查找都能在$\sim \lg N$次比较内结束，就和二分查找一样。那么这里我们会介绍一种二分查找树并能保证物理如何构造它，它的运行时间都是对数级别的。

2-3树是最简单的B-树（或-树）结构，其每个非叶节点都有两个或三个子女，而且所有叶都在统一层上。2-3树不是二叉树，其节点可拥有3个孩子。不过，2-3树与满二叉树相似。高为h的2-3树包含的节点数大于等于高度为h的满二叉树的节点数，即至少有$2^h-1$个节点。

一棵2-3查找树为一棵空树或者由以下节结点构成：

• 2-结点，含有一个键（及其对应的值）和两条链接，左链接指向的2-3树中的结点都小于该结点，有链接指向的2-3树中的结点都大于该结点。
• 3-结点：含有两个键（及其对应的值）和3条链接，左链接指向的2-3树中的结点都小于该结点中的较小建，中链接指向的2-3树中的结点位于该结点的2个键之间，右链接指向的2-3树中的结点都大于该结点中的较大键。

指向一棵空树的链接称为空链接。

2-3查找树示意图如下1-1所示：

一棵完美平衡的2-3查找树中的所有空链接（或叶结点）到根结点的距离都是相同的。

2 查找

将二叉查找树的插在算法一般化我们就能够得到2-3树的查找算法。要判断一个键是否在树中，我们先将它和根结点中的键比较。如果它和其中任一键相等，直接命中；否则我们就根据比较的结果找到链接对应的区间，并在其指向的子树中循环(或递归）查找。直到空链接，说明未命中，键不在树中。

命中和未命中查找，如下图2-1所示：

3 插入

要在2-3树中插入一个新结点，我们可以和二叉查找树一样先进行一次未命中查找，然后把新结点挂载树的底部。但这样的话树无法保持完美平衡性。我们使用2-3树的主要原因就在于它能够在插入后保持完美平衡性。

3.1 向2-结点中插入新键

如果未命中查找结束于2-结点，我们只需要把该2-结点替换为3-结点，把要插入的键值保持在该结点即可，如下图3.1-1所示：

3.2 向一个只含有一个3-结点的树中插入新键

如果未命中查找结束一个3-结点，情况相对来说有点复杂。在考虑一般情况之前，我们先假设当前只有一个3-结点即根节点,步骤如下：

• 把该3-结点扩展为4-结点，把键值对放入合适位置
• 该4-结点向上生长(拆分)为3个2-结点，拆分规则如下：
  • 跟结点包含中键
  • 根结点的左结点包含较小的键
  • 根结点右结点包含较大的键

这棵新的2-3树在保证有序的情况下，也保证了平衡性，因为所有的空结点到根结点的距离是相等的。这个例子很简单但值得学习，它说明了2-3树是如何生长的，即向上生长，如下图3.2-1所示：

树的高度变化：

• 插入前1
• 插入后+1=2
  • 2-3树只会向上生长，只有根结点的生长使高度+1

3.3 向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

假设未命中的查找结束于3-结点n3，它的父结点为一个2-结点p2，插入执行流程如下：

1. 把n3 3-结点扩展为4-结点，键值插入合适位置，使该结点保持有序性。

2. 把该4-结点分解，其中中键移动至其父结点中，插入父结点的合适位置，使之有序。

   • 父结点为2-结点有空间，扩展为3-结点

3. 4-结点的剩余小大键分别作为其父结点的子结点，根据有序性链接到合适区间。

这些操作，中键移入父结点中，插入新键、中键分解、中键加入结点，父结点链接调整，这些操作都进行有序性调整，保证有序性；且保证了平衡性，空结点到根节点的距离依然不变。插入后2-3树依然是完美平衡的，如下图3.3-1所示：

3.4 向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键

现在假设未命中查找结束于一个父结点也是3-结点的3-结点，插入流程如下:

1. 把3-结点扩展为4-结点，键值插入合适位置，使该结点保持有序性。
2. 中键分解移入父结点，因为父结点也是3-结点，执行同步骤1一样的操作
3. 剩余小大键根据有序性，链入父结点合适位置
4. 重复执行步骤1~3，直至父结点为2-结点或者根节点为3-结点
   • 父结点为2-结点，参考3.3操作
   • 父结点为3-根结点，参考3.2操作

推广到一般情况，我们一直向上分解临时4-结点把中键插入更高的父结点，直至遇到2-结点或者根节点为3-结点，分解根结点，依然保持了2-3树的完美平衡性，如图3.4-1所示：

4 分析

4.1 局部变换

将一个4-结点分解为一棵2-3树的可能有6种情况。这个4-结点可能是根节点，可能是一个2-结点的左子结点或者右子结点，也可能是一个3-结点的左子结点、中子结点或者右子结点。2-3树的插入算法的根本在于这些变换都是局部的：除了相关的结点和链接之外不必修改或者检查树的其他部分。每次变换，变更的链接不会超过一个很小的常数。需要特别指出的是，不光是在树的底部，树中的其他任何地方只要符合相应的模式，变换都可进行。每个变换都会将4-结点中的一个键送入它的父结点中，并重构相应的链接而不必涉及树的其他部分。

4.2 全局性质

这些局部变换不会影响全局有序性和平衡性：任意空链接到根结点的路径长度都是相等的。

不同于标准的二叉查找树，2-3树的生长是由下向上的。

2-3树的分析和二叉查找树大不相同，因为我们主要感兴趣的的最坏情况下的性能而非一般情况。在符号表的实现中，一般我们无法控制用例会按照什么顺序向表中插入键，因此对最坏情况的分析是唯一提供性能保证的办法。

命题F。在一棵大小为N的2-3树中，查找和插入操作访问结点的比如不超过$\lg N$个。

证明。一棵含有N个结点的2-3树高度h的范围为$\lfloor \lg N\rfloor \ge h\ge \lfloor {\log }_{3}N\rfloor$

虽然我们分析了2-3树的性质特点和一些操作步骤，但是要 实现很复杂。包括维护2种类型的结点，将被查找的键和结点中的每个键进行比较，将链接和其他信息从一种结点复制到另外一种结点等等。实现这些不仅需要大量的代码，而且他们所产生的额外开销可能会使算法比标准的二叉查找树更慢。那我们为什么还要研究它呢？因为它是接下来我们要学习其他一些树形结构的理论基础。下面我们只需要一点点代价就能用一种统一的方式完成所有变换，即我们要学习的红黑树。

5 后记

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[1][美]Robert Sedgewich,[美]Kevin Wayne著;谢路云译.算法：第4版[M].北京：人民邮电出版社，2012.10