《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“最大团”

news2024/11/16 2:51:57

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

文章目录

题目描述
题解
C++代码
Java代码
Python代码

“ 最大团” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1762

题目描述

【题目描述】 数轴上有n个点，第i个点的坐标为xi，权值为wi。两个点i,j之间存在一条边当且仅当abs(xi-xj)>=wi+wj。
你需要求出这张图的最大团的点数。
团：两两之间存在边的定点集合。
【输入格式】 输入第一行为n（n≤200000）
接下来n行，每行两个整数xi、wi。（0≤|xi|,wi≤10^9）
【输出格式】 输出一行一个整数，表示最大团的点数。
【输入样例】

【输出样例】

题解

最大团是一个图论问题：在一个无向图中找出一个点数最多的完全子图。所谓完全图，就是图中所有的点之间都有边。n个点互相连接，共有n(n-1)/2条边。
普通图上的最大团问题是NP问题，计算复杂度是指数级的。例如常见的Bron-Kerbosch算法，是一个暴力搜索算法，复杂度 $O(3^{n/3)}$ 。所以如果出最大团的题目，一般不会在普通图上求最大团，而是在一些特殊的图上，用巧妙的、非指数复杂度的算法求最大团。本题n≤200000，只能用复杂度小于O(nlogn)的巧妙算法。
本题的图比较特殊，所有点都在直线上。在样例中，存在的边有(0-3)、(0-6)、(2-6)、(3-6)，其中{0, 3, 6}这3点之间都有边，它们构成了一个最大团。
另外，本题对边的定义也很奇怪：“两个点i, j之间存在一条边当且仅当abs(xi-xj)≥wi+wj”。
考虑以下2个问题：
（1）哪些点之间有边？题目的定义是abs(xi-xj)≥wi+wj，若事先把x排了序，设xj≥xi，移位得xj-wj≥xi+wi。这样就把每个点的x和w统一起来了，方便计算。
（2）哪些点构成了团？是最大团吗？考察3个点x1≤x2≤x3，若x1和x2有边，则应有x1+w1≤x2-w2；若x2和x3有边，则x2+w2≤x3-w3。推导x1和x3的关系：x1+w1≤x2-w2≤x2+w2≤x3-w3，即x1+w1≤x3-w3，说明x1和x3也有边。x1、x2、x3这3点之间都有边，它们构成了一个团。依次这样操作，得符合条件的x1、x2、x3、…，构成了一个大的团。但是，用这个方法得到团是最大的吗？
为了方便思考，把上述讨论画成图。
在这里插入图片描述

把每个点的信息画成线段，左端点是x-w，右端点是x+w。问题建模为：在n个线段中，找出最多的线段，使得它们互相不交叉。
如果学过贪心，发现它就是“活动安排问题（参考《算法竞赛入门到进阶》 100页，活动安排问题）”，或者“区间调度问题”，即在n个活动中，安排尽量多的活动，使得互相不冲突。贪心解法是：
（1）按活动的结束时间排序。本题按x+w排序。
（2）选择第一个结束的活动，跳过与它时间冲突的活动。
（3）重复（2），直到活动为空。每次选择剩下活动中最早结束的活动，并跳过与它冲突的活动。
【重点】 贪心的建模。

C++代码

代码的计算复杂度，排序O(nlogn)，贪心O(n)，总复杂度O(nlogn)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200005;
struct aa{ int l, r; } a[N];
bool cmp(const aa &a,const aa &b){ return a.r<b.r;}  //比较右端点
int main(){
    int n; scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x,w; scanf("%d%d",&x,&w);
        a[i].l = x-w,
        a[i].r = x+w;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);       //按右端点排序
    int R=a[1].r,  ans=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)     //选剩下活动中最早结束的活动，跳过冲突的活动
        if (a[i].l>=R){
            R = a[i].r;
            ans++;
        }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

Java代码

import java.util.*;

class Main {
    static class aa { int l, r; }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        aa[] a = new aa[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = sc.nextInt();
            int w = sc.nextInt();
            a[i] = new aa();
            a[i].l = x - w;
            a[i].r = x + w;
        }
        Arrays.sort(a, 1, n + 1, new Comparator<aa>() {
            public int compare(aa a, aa b) { return a.r - b.r;  }
        });
        int R = a[1].r;
        int ans = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (a[i].l >= R) {
                R = a[i].r;
                ans++;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

Python代码

n = int(input())
a = []
for i in range(n):
    x, w = map(int, input().split())
    a.append({'l': x-w, 'r': x+w})
a.sort(key=lambda x: x['r'])
R, ans = a[0]['r'], 1
for i in range(1, n):
    if a[i]['l'] >= R:
        R = a[i]['r']
        ans += 1
print(ans)