赫夫曼树
基本介绍
- 给定 n 个权值作为 n 个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度（wpl）达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树（Huffman Tree），还有的书翻译为霍夫曼树。
- 赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的节点离根较近。
重要概念
- 路径和路径长度：在一棵树中，从一个节点往下可以达到的孩子或孙子节点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度，若规定根节点的层数为 1，则从根节点到第 L 层节点的路径长度为 L - 1。
- 节点的权及带权路径长度：若将树中节点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该节点的权。节点的带权路径长度为：从根节点到该节点之间的路径长度与该节点的权的乘积。
- 树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记作 wpl（weighted path length），权值越大的节点离根节点越近的二叉树才是最优二叉树。
- wpl 最小的就是赫夫曼树。
赫夫曼树的构建
举例：
数列{13,7,8,3,29,6,1}，要求转为一棵赫夫曼树。
思路分析：
- 从小到大进行排序，每一个数据都是一个节点，每个节点可以看成是一棵最简单的二叉树；
- 取出根节点权值最小的两棵二叉树；
- 组成一棵新的二叉树，该新的二叉树的根节点的权值是前面两棵二叉树根节点权值的和；
- 再将这棵新的二叉树，以根节点的权值大小再次排序，不断重复 1,2,3,4 的步骤，知道数列中所有的数据都被处理，就得到一棵赫夫曼树。
代码实现：
public class HuffmanTree {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1};
Node huffmanTree = createHuffmanTree(arr);
preOrder(huffmanTree);
}
// 前序遍历
public static void preOrder(Node root) {
if (root != null) {
root.preOrder();
} else {
System.out.println("是空树，不能遍历~");
}
}
// 创建赫夫曼树的方法
public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
// 第一步为了操作方便
// 1. 遍历 arr 数组
// 2. 将 arr 的每个元素构成一个 Node
// 3. 将 Node 放入到 ArrayList 中
List<Node> nodes = new ArrayList<>();
for (int value : arr) {
nodes.add(new Node(value));
}
// 循环，直到处理完所有数据
while (nodes.size() > 1) {
// 排序
Collections.sort(nodes);
// 取出根节点权值最小的两棵二叉树
// (1) 取出权值最小的节点
Node leftNode = nodes.remove(0);
// (2) 取出权值第二小的节点
Node rightNode = nodes.remove(0);
// (3) 构建一棵新的二叉树
Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
parent.left = leftNode;
parent.right = rightNode;
// (4) 将 parent 加入到 Node
nodes.add(parent);
}
// 返回赫夫曼树的 Node 节点
return nodes.get(0);
}
}
// 创建节点类
// 为了让 Node 对象像 Collections 集合排序
// 让 Node 实现 Comparable 接口
class Node implements Comparable<Node> {
int value; // 节点权值
Node left; // 指向左子节点
Node right; // 指向右子节点
public Node(int value) {
this.value = value;
}
/**
* 前序遍历
*
* @return
*/
public void preOrder() {
System.out.println(this);
if (this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
if (this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
// 正序排列
return this.value - o.value;
}
}
