写在前面

一直不太理解梯度下降算法是什么意思，今天我们就解开它神秘的面纱

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写在中间

线性回归方程

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如果要求出一条直线，我们只需知道直线上的两个不重合的点，就可以通过解方程组来求出直线

但是，如果我们选取的这两个点不在直线上，而是存在误差（暂且称作观测误差），这样求出的直线就会和原直线相差很大，我们应该怎样做呢？首先肯定不能只通过两个点，就武断地求出这条直线。

我们通常尽可能多地使用分布在直线周围的点，也可能不存在一条直线完美的穿过所有采样点。那么，退而求其次，我们希望能找到一条比较“好”的位于采样点中间的直线。那么怎么衡量“好”与“不好”呢？一个很自然的想法就是，求出当前模型的所有采样点上的预测值𝑤𝑥(𝑖) + 𝑏与真实值𝑦(𝑖)之间的差的平方和作为总误差$\mathcal{L}$，然后搜索一组参数$w^{\ast },b^{\ast }$使得$\mathcal{L}$最小，对应的直线就是我们要寻找的最优直线。

$w^{\ast },b^{\ast }=\arg {\min }_{w,b}\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(w{x}^{(i)}+b-y^{(i)}{)}^2$

最后再通过梯度下降法来不断优化参数$w^{\ast },b^{\ast }$

有基础的小伙伴们可能知道求误差的方法其实就是均方误差函数，不懂得可以看这篇文章补充养分《误差函数》 ，我们这篇文章就侧重梯度下降。

梯度下降

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函数的梯度定义为函数对各个自变量的偏导数组成的向量。不会的话，翻翻高等数学下册书。

举个例子，对于曲面函数𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)，函数对自变量𝑥的偏导数记为$\frac{\partial z}{\partial x}$，函数对自变量𝑦的偏导数记为$\frac{\partial z}{\partial y}$，则梯度∇𝑓为向量$(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y})$，梯度的方向总是指向当前位置函数值增速最大的方向，函数曲面越陡峭，梯度的模也越大。

函数在各处的梯度方向∇𝑓总是指向函数值增大的方向，那么梯度的反方向−∇𝑓应指向函数值减少的方向。利用这一性质，我们只需要按照下式来更新参数，，其中𝜂用来缩放梯度向量，一般设置为某较小的值，如 0.01、0.001 等。

$x^{\prime }=x-\eta \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

结合上面的回归方程，我们就可对误差函数求偏导，以循环的方式更新参数$w,b$：

$\begin{array}{rl}{w}^{\prime }& =w-\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w}\\ & \\ b^{\prime }& =b-\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b}\end{array}$

函数实现

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计算过程都需要包裹在 with tf.GradientTape() as tape 上下文中，使得前向计算时能够保存计算图信息，方便自动求导操作。通过tape.gradient()函数求得网络参数到梯度信息，结果保存在 grads 列表变量中。

GradientTape()函数

GradientTape(persistent=False, watch_accessed_variables=True)

• persistent： 布尔值，用来指定新创建的gradient
  tape是否是可持续性的。默认是False，意味着只能够调用一次GradientTape()函数，再次使用会报错

• watch_accessed_variables：布尔值，表明GradientTape()函数是否会自动追踪任何能被训练的变量。默认是True。要是为False的话，意味着你需要手动去指定你想追踪的那些变量。

tape.watch()函数

tape.watch()用于跟踪指定类型的tensor变量。

• 由于GradientTape()默认只对tf.Variable类型的变量进行监控。如果需要监控的变量是tensor类型，则需要tape.watch()来监控，否则输出结果将是None

tape.gradient()函数

tape.gradient(target, source)

• target：求导的因变量

• source：求导的自变量

import tensorflow as tf

w = tf.constant(1.)
x = tf.constant(2.)
y = x * w

with tf.GradientTape() as tape:
    tape.watch([w])
    y = x * w

grads = tape.gradient(y, [w])
print(grads)

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写在最后

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