数字三角形模型

摘花生

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式

第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

1≤T≤100
1≤R,C≤100,
0≤M≤1000

输入样例：

输出样例：

8
16

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int g[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
    int t;cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n,m;cin>>n>>m;
        memset(g,0,sizeof g);
        memset(f,0,sizeof f);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>g[i][j];
        f[1][1]=g[1][1];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j]+g[i][j],f[i][j-1]+g[i][j]);
            }
        }
        cout<<f[n][m]<<endl;
        
        
    }
    return 0;
}

最低通行费

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。(2n-1)意味着 1+n-1+n-1 故不能走回头路很重要

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 NN行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤1001≤N≤100

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int g[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
   int n;cin>>n;
   memset(f,0x3f,sizeof f);
   for(int i=1;i<=n;i++)
   for(int j=1;j<=n;j++) cin>>g[i][j];
   f[1][1]=g[1][1];
   for(int i=1;i<=n;i++)
   for(int j=1;j<=n;j++)
   {
       if(i>1) f[i][j]=min(f[i-1][j]+g[i][j],f[i][j]);
       if(j>1) f[i][j]=min(f[i][j-1]+g[i][j],f[i][j]);
   }
   cout<<f[n][n]<<endl;
    return 0;
    
}

方格取数

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

（两条道同时走）

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N≤10

输入样例：

输出样例：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=15;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];
int main()
{
    int n;cin>>n;
    int a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) g[a][b]=c;
    for(int k=2;k<=n+n;k++)
    {
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
        {
            for(int i2=1;i2<=n;i2++)
            {
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n) 
                {
                    int t=g[i1][j1];
                    if(i1!=i2) t+=g[i2][j2];
                    int &x=f[k][i1][i2];
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下下
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2]+t);//下右
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2-1]+t);//右下
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2]+t);//右右
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n+n][n][n]<<endl;
    return 0;
}

传纸条

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示学生矩阵有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度，每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

1≤n,m≤50

输入样例：

输出样例：

证明传纸条为何可以使用方格取数的代码

因为两个点相交，这个点的值只能加一次，然而我们肯定能找到一条绕过这个点走到下个点的路径，这条路径一定是大于之前相交路径的。

数学表达就是：两条路径在一个点，那么在这个点加的值就是0+g[i,j] 但是我们可以让其中一条路径绕过这个点再走到这个点的下一个点那么加的值应该是g[i,j-1] + g[i,j] 因为是非负数，所以我们可以找到一条大于等于之前有相交点的路径，那么这个有相交点的一定不是最优解；即便这条路径是最优解也有另一条最优解和这个路径和一样，但是我们只需要输出路径和就可以了，最优解路径有可能是有相交点的，但是也有另一个最优解没有相交点，那么我们输出的路径和肯定可以是一条没有相交点的最优解

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=60;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    int a,b,c;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=m;j++)
  cin>>g[i][j];
    for(int k=2;k<=n+m;k++)
    {
        for(int i1=1;i1<k;i1++)
        {
            for(int i2=1;i2<k;i2++)
            {
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=m&&j2>=1&&j2<=m) 
                {
                    int t=g[i1][j1];
                    if(i1!=i2) t+=g[i2][j2];
                    int &x=f[k][i1][i2];
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下下
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2]+t);//下右
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2-1]+t);//右下
                    x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2]+t);//右右
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n+m][n][n]<<endl;
    return 0;
}

最长上升子序列模型

怪盗基德的滑翔翼

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式

输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

数据范围

1≤K≤100
1≤N≤100
0<h<10000

输入样例：

3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例：

6
6
9

这题就是求最长上升子序列（往左滑）和最长下降子序列（往右滑）长度的最大值。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N];
int f[N];
int main()
{
    int t;cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(f,0,sizeof f);
        int n;cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        int num1=0,num2=0;
        //最长单调递减子序列
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                if(a[j]>a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            }
            num1=max(num1,f[i]);
        }
        memset(f,0,sizeof f);
        //最长单调递增子序列 
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            }
            num2=max(num2,f[i]);
        }
        cout<<max(num1,num2)<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N];
int f[N];
int main()
{
    int t;cin>>t;
    while(t--)
    {
        int num1=0,num2=0;
        memset(f,0,sizeof f);
        int n;cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                if(a[j]>a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            }
            num1=max(num1,f[i]);
        }
        memset(f,0,sizeof f);

        for(int i=n;i>=1;i--)
        {
            f[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--)
        {
            if(a[j]>a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1); 
        }
        num2=max(num2,f[i]);
        }
       cout<<max(num1,num2)<<endl;
    }
    
    return 0;
}

登山

五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

输入格式

第一行包含整数N，表示景点数量。

第二行包含N个整数，表示每个景点的海拔。

输出格式

输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。

数据范围

2≤N≤1000

输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N];
int f[N][2];
int main()
{
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=f[i][1]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[i]>a[j]) f[i][0]=max(f[i][0],f[j][0]+1);//上升
            //出现下降的了 它有可能来自下降的下降 也有可能来自上升之后的下降 故取最大值
            if(a[i]<a[j]) f[i][1]=max(f[i][1],max(f[j][0],f[j][1])+1);
        }
        ans=max(ans,f[i][0]);
        ans=max(ans,f[i][1]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N];
int f[N],g[N];
int main()
{
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        g[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--)
        {
            if(a[i]>a[j]) g[i]=max(g[i],g[j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i]+g[i]-1);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}