偶然发现了学长发给我的一个学长的学长也是我的学长的一个数论$ppt$，先不着急复习莫反杜教筛，按这个顺序来吧

0.随便说说

前一阵子确实学习状态不是很好，我感觉我个人学习状态也是忽好忽坏的，不过只要在学习状态好的时候多学点感觉就可以学到很多东西。
看到学长之前发给我的$ppt$感慨也很多，也跟学长聊了聊，这些知识都是别人高中甚至初中就学会的知识点，如果高中时候好好学$OI$，会不会现在有不一样的未来呢。其实我对现在也很满意了，能做一个普通学校的普通的$ACMer$就已经很满足了，起码也在热爱的路上，希望能拿点成绩出来吧。

1.随便讲讲

类欧几里得算法可以在$O(\log n)$的时间复杂度解决如下形式的前缀和函数
$$f(a,b,c,n)=\sum _{i=0}^n\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$$
这个式子的向下取整让我们很容易联想到数论分块，可惜数论分块不能解决这个问题，因此我们要用到类欧几里得算法。

前置知识：几个和向上向下取整有关的不等式

ok现在开始推导，分成两种情况，第一种是$a\ge c$或$b\ge c$，第二种是$a<c$且$b<c$

可以看到，第一种情况我们直接将$a,b$缩小到了$c$以下，第二种情况我们交换了$a,c$的位置，数字对$(a,c)$的变换与求解$gcd(a,c)$时的变换相同，因此时间复杂度为$O(\log n)$

2.代码实现

看起来复杂，但由于用到的是递归的思想，所以并不难

3.例题

AtCoder ABC283Ex Popcount Sum

题面
$$popcount(x)=\sum _{i=0}^{{\log }_2^x}(x>>i)\&1=\sum _{i=0}^{{\log }_2^x}((x>>i)-((x>>i+1)<<1))=\sum _{i=0}^{{\log }_2^x}(\lfloor \frac{x}{2^i}\rfloor -2\lfloor \frac{x}{2^{i+1}}\rfloor )$$

所以本题所求

$$\sum _{j\mathrm{mod}m=r}^{n}popcount(j)=\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{n-r}{m}\rfloor }popcount(mj+r)=\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{n-r}{m}\rfloor }\sum _{i=0}^{{\log }_2^{mj+r}}(\lfloor \frac{mj+r}{2^i}\rfloor -2\lfloor \frac{mj+r}{2^{i+1}}\rfloor )$$

$$=\sum _{i=0}^{{\log }_2^{mj+r}}\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{n-r}{m}\rfloor }(\lfloor \frac{mj+r}{2^i}\rfloor -2\lfloor \frac{mj+r}{2^{i+1}}\rfloor )=\sum _{i=0}^{{\log }_2^{mj+r}}(f(m,r,2^i,\lfloor \frac{n-r}{m}\rfloor )-2f(m,r,2^{i+!},\lfloor \frac{n-r}{m}\rfloor ))$$

前面一个 $log$ ,计算 $f$ 还有一个 $log$ ，时间复杂度是 $log$ 方的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(ll &x){
    ll s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<3)+(s<<1)+(ch&15);ch=getchar();}
    x=s*w;
}
ll f_gcd(ll a, ll b, ll c, ll n){
    ll res=n*(n+1)/2*(a/c)+(n+1)*(b/c);
    a%=c,b%=c;ll m=(a*n+b)/c;
    if(m==0)return res;
    return res+n*m-f_gcd(c,c-b-1,a,m-1);
}
ll t,n,m,r;
int main(){
    read(t);
    while(t--){
        read(n),read(m),read(r);
        ll k=log(n)/log(2),p=1,ans=0;
        for(ll i=0;i<=k;i++){
            ans+=f_gcd(m,r,p,(n-r)/m)-2*f_gcd(m,r,(p<<1),(n-r)/m);
            p<<=1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}