[HEOI2016/TJOI2016] 排序

题目描述

在 $2016$ 年，佳媛姐姐喜欢上了数字序列。因而她经常研究关于序列的一些奇奇怪怪的问题，现在她在研究一个难题，需要你来帮助她。

这个难题是这样子的：给出一个 $1$ 到 $n$ 的排列，现在对这个排列序列进行 $m$ 次局部排序，排序分为两种：

• 0 l r 表示将区间 $[l,r]$ 的数字升序排序
• 1 l r 表示将区间 $[l,r]$ 的数字降序排序

注意，这里是对下标在区间 $[l,r]$ 内的数排序。
最后询问第 $q$ 位置上的数字。

输入格式

输入数据的第一行为两个整数 $n$ 和 $m$，$n$ 表示序列的长度，$m$ 表示局部排序的次数。

第二行为 $n$ 个整数，表示 $1$ 到 $n$ 的一个排列。

接下来输入 $m$ 行，每一行有三个整数 $\text{op},l,r$，$\text{op}$ 为 $0$ 代表升序排序，$\text{op}$ 为 $1$ 代表降序排序, $l,r$ 表示排序的区间。

最后输入一个整数 $q$，表示排序完之后询问的位置

输出格式

输出数据仅有一行，一个整数，表示按照顺序将全部的部分排序结束后第 $q$ 位置上的数字。

样例 #1

样例输入 #1

6 3
1 6 2 5 3 4
0 1 4
1 3 6
0 2 4
3

样例输出 #1

5

提示

河北省选2016第一天第二题。

对于 $30\%$ 的数据，$n,m\le 1000$

对于 $100\%$ 的数据，$n,m\le 10^5$，$1\le q\le n$

线段树真的太好用好调了，所以我什么时候能去给线段树献花圈顺便在坟头蹦迪

大致思路

• 我们最终只需要一次访问，经过二分答案得到mid，那么数组内只会有两种数，大于等于mid的和小于mid的数。
• 对于大于等于mid的数我们标为1，小于mid的我们标为0，每次操作也就变成了给01序列排序
• 整个题也就变成了两个部分，如何维护用线段树维护这个01序列及二分答案的具体实现

线段树维护01序列排序

首先我们要求出当前区间有几个1，设cnt

• 升序：将$[l,r-cnt]赋值0$,$[r-cnt+1,r]赋值1$
• 降序：将$[l,l+cnt-1]赋值1$,$[r,r-cnt]赋值0$
  举个例子，对于序列
  $$001010$$
  其中$cnt=2$
  对[2,4]升序排序： $000110$
  对[2,4]降序排序：$011000$

这样，排序问题就被转化为了区间修改，区间查询，单点查询问题。

bool check(int md){
	build(1,1,n,md);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int cnt=query(1,1,n,l[i],r[i]);
		if(op[i]==0){
			update(1,1,n,l[i],r[i]-cnt,0);
			update(1,1,n,r[i]-cnt+1,r[i],1);
		}
		else if(op[i]==1){
			update(1,1,n,l[i]+cnt,r[i],0);
			update(1,1,n,l[i],l[i]+cnt-1,1);
		}
	}
	return query_point(1,1,n,q);
}
	while(ll<=rr){
		int mmid=(ll+rr)>>1;
		if(check(mmid)){
			ll=mmid+1;
		}
		else {
			rr=mmid-1;
		}
	}
	cout<<rr<<endl;

奇妙の二分答案

经过元素与mid比较，建树，操作后再次查询q，若q为1，说明当前数可行，更新L为mid+1，反正更新R为mid-1

bool check(int md){
	build(1,1,n,md);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int cnt=query(1,1,n,l[i],r[i]);
		if(op[i]==0){
			update(1,1,n,l[i],r[i]-cnt,0);
			update(1,1,n,r[i]-cnt+1,r[i],1);
		}
		else if(op[i]==1){
			update(1,1,n,l[i]+cnt,r[i],0);
			update(1,1,n,l[i],l[i]+cnt-1,1);
		}
	}
	return query_point(1,1,n,q);
}

本题的思想非常巧妙，值得借鉴！

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+888;
int n,m,q,l[N],r[N],op[N];
int sm[N<<2],tag[N<<2],a[N];
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) (x<<1|1)
#define int long long int 
void pushup(int x){
	sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)];
}
void build(int x,int l,int r,int midd){
	tag[x]=0;
	if(l==r){
		if(a[l]<midd){
			sm[x]=0;
		}
		else sm[x]=1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid,midd);
	build(rc(x),mid+1,r,midd);
	pushup(x);
}
void cover(int x,int l,int r,int ad){	
	sm[x]+=(r-l+1)*ad;
	if(ad==1) tag[x]=ad;
	else tag[x]=-1;
}
void pushdown(int x,int l,int r){
	if(!tag[x])return;
	int mid=(l+r)>>1;
//	cover(lc(x),l,mid,tag[x]);
//	cover(rc(x),mid+1,r,tag[x]);
	tag[lc(x)]=tag[rc(x)]=tag[x];
	if(tag[x]==1){
		sm[lc(x)]=mid-l+1;
		sm[rc(x)]=r-mid;
	}
	else {
		sm[lc(x)]=sm[rc(x)]=0;	
	}
	tag[x]=0;
}
void update(int x,int l,int r,int L,int R,int ad){
	if(l>R||r<L)return;
	if(l>=L&&R>=r){
		//cover(x,l,r,ad);
		sm[x]=(r-l+1)*ad;
		if(ad==1){
			tag[x]=1;
		}
		else tag[x]=-1;
		return;
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	update(lc(x),l,mid,L,R,ad);
	update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad);
	pushup(x);
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L)return 0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	return query(lc(x),l,mid,L,R)+query(rc(x),mid+1,r,L,R);
}
int query_point(int x,int l,int r,int xy){
//	if(l>xy||r<xy)return 0;
	if(l==r&&l==xy){
		return sm[x];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	if(xy<=mid) return query_point(lc(x),l,mid,xy);
	else return query_point(rc(x),mid+1,r,xy);
}
bool check(int md){
	build(1,1,n,md);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int cnt=query(1,1,n,l[i],r[i]);
		if(op[i]==0){
			update(1,1,n,l[i],r[i]-cnt,0);
			update(1,1,n,r[i]-cnt+1,r[i],1);
		}
		else if(op[i]==1){
			update(1,1,n,l[i]+cnt,r[i],0);
			update(1,1,n,l[i],l[i]+cnt-1,1);
		}
	}
	return query_point(1,1,n,q);
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>op[i]>>l[i]>>r[i];
	}
	cin>>q;
	int ll=0,rr=1999990;
	while(ll<=rr){
		int mmid=(ll+rr)>>1;
		if(check(mmid)){
			ll=mmid+1;
		}
		else {
			rr=mmid-1;
		}
	}![请添加图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/95443962d73e4da588fa06edf7ca3579.png)

	cout<<rr<<endl;
	return 0;
}

完结撒花~

附封面（古河渚）