2023牛客暑期多校训练营5-C Cheeeeen the Cute Cat
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/57359/C
文章目录
- 2023牛客暑期多校训练营5-C Cheeeeen the Cute Cat
- 题意
- 解题思路
- 兰道定理：
- 代码
题意
解题思路
可以将边 ( i , j + n ) (i,j+n) (i,j+n)转变成 ( i , j ) (i,j) (i,j)连边，将二分图转变为竞赛图。根据题意，在二分图上进行完美匹配时将 ( a 1 , a 2 + n ) 、 ( a 2 , a 3 ) 、 ( a 3 , a 4 ) 、 ( a 4 , a 5 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( a k , a 1 ) (a_1,a_2+n)、(a_2,a_3)、(a_3,a_4)、(a_4,a_5)······(a_k,a_1) (a1,a2+n)、(a2,a3)、(a3,a4)、(a4,a5)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(ak,a1)转变为 a 1 ⟶ a 2 ⟶ a 3 ⟶ a 4 ⟶ a 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a k ⟶ a 1 a_1\longrightarrow a_2\longrightarrow a_3\longrightarrow a_4\longrightarrow a_5······a_k\longrightarrow a_1 a1⟶a2⟶a3⟶a4⟶a5⋅⋅⋅⋅⋅⋅ak⟶a1。
对于一个强连通图显然可以全部匹配，则答案为 n n n，只需特判孤立的强连通分量即可，若有，则答案为 n − 1 n-1 n−1。
兰道定理：
一个竞赛图强连通的充要条件是：把它的所有顶点按照入度d从小到大排序，对于任意k∈[0,n−1]
都不满足
∑
i
=
0
k
d
i
=
(
k
+
1
2
)
\sum_{i=0}^k di=\dbinom {k+1}2
∑i=0kdi=(2k+1)。
根据兰道定理，可以根据入度序列判断强连通分量。（当然也可以尝试 t a r j a n tarjan tarjan水过去。）
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,deg[3003],a;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cin>>a;
if(a)deg[a]++;
}
}
sort(deg+1,deg+n+1);
int s=0;
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
s+=deg[i];
if(s==i*(i-1)/2){
if(i-j<3){
cout<<n-1;
return 0;
}
j=i;
}
}
cout<<n;
}
