文章目录
- 动态规划(子序列系列)
- 1. 最长递增子序列
- 2. 摆动序列
- 3. 最长递增子序列的个数
- 4. 最长数对链
- 5. 最长定差子序列
- 6. 最长的斐波那契子序列的长度
- 7. 最长等差数列
- 8. 等差数列划分 || - 子序列
动态规划(子序列系列)
1. 最长递增子序列
题目链接
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状态表示
dp[i]表示到 i 位置时,所有子序列当中最长的子序列的长度
-
状态转移方程
-
初始化
表中的所有数据初始化为1
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填表
从左到右
-
返回值
返回整个dp表里面最大的值
AC代码:
class Solution
{
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> dp(n, 1);
int ret = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[i] > nums[j])
{
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
ret = max(ret, dp[i]);
}
return ret;
}
};
2. 摆动序列
题目链接
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状态表示
f[i]表示:以 i 位置为结尾的所有子序列当中,最后一个位置是上升的最长摆动序列的长度
g[i]表示:以 i 位置为结尾的所有子序列当中,最后一个位置是下降的最长摆动序列的长度
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状态转移方程
-
初始化
表中的所有值初始化为1
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填表
从左到右
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返回值
返回两个表中的最大值
AC代码:
class Solution
{
public:
int wiggleMaxLength(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> f(n, 1), g(n, 1);
int ret = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[i] > nums[j]) f[i] = max(f[i], g[j] + 1);
else if (nums[i] < nums[j]) g[i] = max(g[i], f[j] + 1);
}
ret = max(ret, max(f[i], g[i]));
}
return ret;
}
};
3. 最长递增子序列的个数
题目链接
这里需要用到一种思想:
如何一次遍历数组,就可以找到最大数出现的次数
代码实现:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int arr[] = {2, 3, 1, 234, 43, 342, 234, 5, 34, 43, 8, 342};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int maxval = 0;
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (arr[i] > maxval) maxval = arr[i], count = 1;
else if (arr[i] == maxval) count++;
}
cout << maxval << endl;
cout << count << endl;
return 0;
}
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状态表示
len[i]表示以 i 位置为结尾所有子序列当中,最长递增子序列的长度
count[i]表示以 i 位置为结尾所有子序列当中,最长递增子序列的个数
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状态转移方程
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初始化
所有值都初始化为1
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填表
从左到右
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返回值
count表最后一个
AC代码:
class Solution
{
public:
int findNumberOfLIS(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> len(n, 1), count(n, 1);
int retval = 1, retcount = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[i] > nums[j])
{
if (len[j] + 1 > len[i]) len[i] = len[j] + 1, count[i] = count[j];
else if (len[j] + 1 == len[i]) count[i] += count[j];
}
}
if (retval == len[i]) retcount += count[i];
else if (retval < len[i]) retval = len[i], retcount = count[i];
}
return retcount;
}
};
4. 最长数对链
题目链接
分析:状态表示以某个位置为结尾的时候,后面的元素不能影响当前的填表,但是这个题目已经影响打了,所有需要将数组排序
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状态表示
dp[i]表示以 i 位置为结尾的所有数对链当中,最长的数对链的长度
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状态转移方程
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初始化
所有初始化为1
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填表
从做到右
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返回值
返回整个表的最大值
AC代码:
class Solution
{
public:
int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs)
{
sort(pairs.begin(), pairs.end());
int n = pairs.size();
vector<int> dp(n, 1);
int ret = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (pairs[i][0] > pairs[j][1])
{
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
ret = max(ret, dp[i]);
}
return ret;
}
};
5. 最长定差子序列
题目链接
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状态表示
dp[i]表示到 i 位置时,所有的子序列当中最长的定差子序列的长度
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状态转移方程
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初始化
将第一个元素对应的dp值初始化为1
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填表
从左到右
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返回值
返回整个dp表里的最大值
AC代码:
class Solution
{
public:
int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference)
{
unordered_map<int, int> hash;
hash[arr[0]] = 1;
int ret = 1;
for (int i = 1; i < arr.size(); i++)
{
hash[arr[i]] = hash[arr[i] - difference] + 1;
ret = max(ret, hash[arr[i]]);
}
return ret;
}
};
6. 最长的斐波那契子序列的长度
题目链接
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状态表示
dp[i][j]表示以 i j 为结尾的所有子序列当中,最长的斐波那契数列的长度
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状态转移方程
优化:将数组的元素和下标绑定,方便查找
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初始化
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填表
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返回值
返回值可能小于3, 这是应该返回0
AC代码:
class Solution
{
public:
int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr)
{
int n = arr.size();
unordered_map<int, int> hash;
for (int i = 0; i < n; i++) hash[arr[i]] = i;
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 2));
int ret = 2;
for (int j = 2; j < n; j++) // 固定最后一个位置
{
for (int i = 1; i < j; i++)
{
int a = arr[j] - arr[i];
if (a < arr[i] && hash.count(a))
{
dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1;
}
ret = max(ret, dp[i][j]);
}
}
return ret < 3 ? 0 : ret;
}
};
7. 最长等差数列
题目链接
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状态表示
dp[i][j] 表示 以 i j 为结尾的所有子序列当中最长的等差子序列的长度
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状态转移方程
优化:一边dp一边保存离它最近元素的下标,当 i 位置填完之后将它填入哈希表中即可。所以需要先固定第倒数第二个元素,接着固定倒数第一个元素
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初始化
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填表
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返回值
返回是整个dp表里的最大值
AC代码:
class Solution
{
public:
int longestArithSeqLength(vector<int>& nums)
{
unordered_map<int, int> hash;
int n = nums.size();
hash[nums[0]] = 0;
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 2));
int ret = 2;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = i + 1; j < n; j++)
{
int a = 2 * nums[i] - nums[j];
if (hash.count(a))
{
dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1;
}
ret = max(ret, dp[i][j]);
}
hash[nums[i]] = i;
}
return ret;
}
};
8. 等差数列划分 || - 子序列
题目链接
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状态表示
dp[i][j]表示以 i j 为是等差数列的子序列的个数
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状态表示
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初始化
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填表
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返回值
AC代码:
class Solution
{
public:
int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
unordered_map<long long, vector<int>> hash;
for (int i = 0; i < n; i++) hash[nums[i]].push_back(i);
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
int sum = 0;
for (int j = 2; j < n; j++) // 固定倒数第一个
{
for (int i = 1; i < j; i++)
{
long long a = (long long)nums[i] * 2 - nums[j];
if (hash.count(a))
{
for (auto k : hash[a])
{
if (k < i) dp[i][j] += dp[k][i] + 1;
else break;
}
}
sum += dp[i][j];
}
}
return sum;
}
};