斐波那契查找（黄金分割法）
黄金分割点是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意想不到的效果。
斐波那契数列 {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55} 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近于黄金分割值 0.618。
斐波那契（黄金分割法）原理
斐波那契查找原理与二分查找和插值查找相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或者插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid = lift + F(k - 1) - 1 （F代表斐波那契数列）
对 F(k - 1) - 1 的理解：
- 由斐波那契数列 F[k] = F[k - 1] + F[k - 2] 的性质，可以看到 (F[k] - 1) = (F[k - 1] - 1) + (F[k - 2] - 1) + 1。该式说明：只要顺序表的长度为 F[k] - 1，则可以将该表分成长度为 F[k - 1] - 1 和 F[k - 2] - 1 的两段，即如上图所示。从中间的位置为 mid = lift + F(k - 1) - 1
- 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
- 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k] - 1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k] - 1。这里的 k 值只要能使得 F[k] - 1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从 n + 1 到 F[k] - 1 位置），都赋为 n 位置的值即可。
while(n > fib(k) - 1) {
k++;
}
代码演示：
public class FibonacciSearch {
public static int maxSize = 20;
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
System.out.println("index = " + fibSearch(arr, 89));
}
// 因为后面我们 mid = low + F(k - 1) - 1，需要使用斐波那契数列，因此我们需要获得一个斐波那契数列
// 非递归方法得到一个斐波那契数列
public static int[] fib() {
int[] f = new int[maxSize];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f;
}
/**
* 编写斐波那契查找算法
* 使用非递归的方式编写算法
*
* @param a 数组
* @param key 我们需要查找的关键码（值）
* @return 返回对应下标，如果没有返回 -1
*/
public static int fibSearch(int[] a, int key) {
int low = 0;
int high = a.length - 1;
int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
int mid = 0; // 存放 mid 值
int[] f = fib(); // 获取斐波那契数组
// 获取到斐波那契分割数值的下标
while (high > f[k] - 1) {
k++;
}
// 因为 f[k] 值可能大于 a 的长度，因此我们需要使用 Arrays 类，构造一个新的数组，并指向 a[]
// 不足的部分会使用 0 填充
int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
// 实际上需要使用 a 数组的最后的数填充 temp
// 举例：temp = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0, 0} => {1, 8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234, 1234}
for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
temp[i] = a[high];
}
// 使用 while 循环处理，找到我们的数 key
while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
mid = low + f[k - 1] - 1;
if (key < temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的前面查找（左边）
high = mid - 1;
// 为什么是 k--;
// 说明
// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后面的元素
// 2. f[k] = f[k - 1] + f[k - 2]
// 3. 因为前面有 f[k - 1] 个元素，所以乐意继续拆分 f[k - 1] = f[k - 2] + f[k - 3]
// 4. 即 在 f[k - 1] 的前面继续查找 k--
// 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 1] - 1
k--;
} else if (key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找（右边）
low = mid + 1;
// 为什么是 k -= 2;
// 说明
// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后面的元素
// 2. f[k] = f[k - 1] + f[k - 2]
// 3. 因为后面有 f[k - 2] 个元素，所以乐意继续拆分 f[k - 1] = f[k - 3] + f[k - 4]
// 4. 即 在 f[k - 2] 的前面继续查找 k-= 2
// 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
k -= 2;
} else { // 找到
// 需要确定返回的是哪个下标
if (mid <= high) {
return mid;
} else {
return high;
}
}
}
return -1;
}
}
