第5章 特征值与特征向量、相似矩阵

(一) 特征值与特征向量

1.定义

设$A$是$n$阶方阵，$\lambda$是一个数，若存在$n$维非零列向量$\xi$，使得$$A\xi =\lambda \xi (\xi \ne 0)$$则称$\lambda$是$A$的特征值，$\xi$是$A$的对应于(属于)特征值$\lambda$的特征向量。

注：
①只有方阵才有特征值和特征向量
②n阶方阵有n个特征值

$A_{n\times n}\times {\xi }_{n\times 1}=\lambda {\xi }_{n\times 1}$：即矩阵A作用在ξ上的效果，和一个数λ作用在ξ上的效果，是划等号的。即可用这个值来代表这个矩阵，即λ为矩阵的特征值。

其他概念：
①特征矩阵：λE-A
②特征多项式： $f(\lambda )=|\lambda E-A|$
③特征方程：f(λ)=|λE-A|=0

2.性质

1.特征值的性质：
(1)特征值之和 = 主对角线元素之和，特征值之积 = 行列式

(2)上下三角矩阵、对角阵的主对角线元素，就是特征值
(3)秩为1的实对称矩阵的特征值：λ₁=tr(A)，λ₂=λ₃=0

2.特征向量的性质：
①k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
②不同特征值对应的特征向量线性无关
③特征向量的线性组合，依然为特征向量 (只要求整体非零) (特征向量就是非零齐次解，齐次解的线性组合仍为齐次解)

3.求解

(1)具体型矩阵

①求特征值：解$|\lambda E-A|=0$，求出n个${\lambda }_i$
②求特征向量：将n个${\lambda }_i$代回齐次线性方程组 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$，分别求出属于每个${\lambda }_i$的非零解${\xi }_i$，这是基础解系。则齐次方程组的通解去掉零解为${\lambda }_i$的全部特征向量，即 $k_i{\xi }_i$(k_i≠0) 为对应于${\lambda }_i$的全部特征向量。

试根法、多项式带余除法：三阶多项式分解因式

当该3阶矩阵的特征方程$|\lambda E-A|=0$ 不好求特征根时，可全部展开为3次多项式，使用试根法先求出一个根，得到 $(\lambda -{\lambda }_1)$，再用多项式带余除法，得到 $(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)$

1.试根法
对于$f(\lambda )=a_k{\lambda }^k+...+a_3{\lambda }^3+a_2{\lambda }^2+a_1\lambda +a_0=0$
①若 $a_0=0$，则 $f(\lambda )=0$ 是根
②若 系数之和为0，则 $f(\lambda )=1$ 是根
③若 奇次方系数 = 偶次方系数，则 $f(\lambda )=-1$ 是根
④若 $a_k=1$，各系数均为整数，则 根均为整数，且 根均为 $a_0$的因子

2.多项式带余除法
缺项要补位

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例题1：入门级别，求特征值和特征向量

答案：

例题2：真题，不太方便直接求出特征值，可考虑直接展开为3次多项式，用试根法+多项式带余除法

例题3：性质证明，不同特征值对应的特征向量线性无关

证明：

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(2)抽象型矩阵

①表格

已经A的特征向量为ξ，则kA、A^-1、A*、A^k、f(A)的特征向量均为ξ
但仅有 kA、A^-1的特征向量为ξ时，也有A的特征向量为ξ

②$|\lambda E-A|=0$，$(\lambda E-A)\xi =0$
③特征值的性质：$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n，tr(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=a_1+a_2+...+a_n$
④特征向量的性质：特征向量的非零线性组合，仍为特征向量。【∴求特征向量时，求出基础解系是ξ后，要加k。最终的(全部的) 特征向量为kξ (k≠0)】

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例题1：

分析：${\lambda }^{\ast }=\frac{|A|}{\lambda }$

答案：11

例题2：23李林六套卷(六)15.   特征值的性质：主对角线元素之和 = 迹 = 特征值之和

分析：A*的主对角元素为A₁₁、A₂₂、A₃₃

答案：1

例题3：18年13.

分析：特征向量的线性组合也为特征向量

答案：-1

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(二) 相似

相似理论：①A~B ②A~Λ ③应用

1.矩阵相似

(1)定义

设A,B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得 P^-1AP = B，则称 矩阵A与B相似，或称A,B是相似矩阵，记为A~B 。称P为A到B的相似变换矩阵或过渡矩阵。

两矩阵相似：①定义法 ②传递法

(2)性质

若A、B相似，则 秩、行列式、迹、特征值相同。若可相似对角化，则相似于同一个对角阵。

(1)若$A\sim B$，则
①行列式相等 $|A|=|B|={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot {\lambda }_3$   且$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
②迹相等 $tr(A)=tr(B)={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$
③$A,B$有相同的特征值 (特征值相同+实对称矩阵 → 相似)
④秩相等 $r(A)=r(B)$ 、$r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$
⑤若A~B，则A等价于B，即A可通过初等变换化为B

这些性质只是必要条件，即使都满足，也无法证明 A~B

(2)若$A\sim B，则\{\begin{array}{rl}f(A)& \sim f(B)，A^m\sim B^m\\ A^{-1}& \sim B^{-1}(可逆)\\ A^{\ast }& \sim B^{\ast }(可逆)\\ A^T& \sim B^T\end{array}$

A~B，若A可逆，则 AB~BA。
证明：∵A可逆 ∴A^-1(AB)A=BA ∴AB~BA

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例题1：15年21.(1)、20年20.(1)

$\because A\sim B\therefore \{\begin{array}{c}tr(A)=tr(B)\\ |A|=|B|\end{array}$

例题2：16年05.

分析：需要掌握相似性质的证明
已知A~B，则若存在可逆矩阵P使得P^-1AP = B。此题额外附加了A、B均为可逆矩阵的条件
①证明：A^-1~B^-1
∵P^-1AP = B
对两边取逆
得 P^-1A^-1P = B^-1，即A^-1~B^-1

②证明：A^T~B^T
∵P^-1AP=B
对两边取转置
得 P^TA^T(P^-1)^T = B^T
即 [(P^T)^-1]^-1A^T(P^T)^-1 = B^T
令Q = (P^T)^-1 = (P^-1)^T，则 Q^-1A^TQ = B^T，则 A^T~B^T

③在此题A、B均为可逆矩阵的前提下，D正确
P^-1AP = B
P^-1A^-1P = B^-1
∴P^-1(A+A^-1)P = B+B^-1

④C，需要A、B均为实对称矩阵

答案：C

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2.相似对角化

(1)定义

A可相似于对角阵，称为A可相似对角化，即：
对于n阶矩阵A，存在n阶可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$，其中$\Lambda$为对角阵，记作 $A\sim \Lambda$，称A可相似对角化。称$\Lambda$是A的相似标准形。

(2)相似对角化的条件（n阶矩阵A可相似对角化的条件）

n阶矩阵A可相似对角化的条件
充要条件	①A有n个线性无关的特征向量
	②A的每一个k重特征值，都有k个线性无关的特征向量 即 k=n-r(λE-A)，λ是k重根
充分条件	①A为实对称矩阵
	②A有n个互异的特征值

②$k_i=n-r({\lambda }_{i}E-A)$，${\lambda }_i$是$k_i$重根

注：
1.对于普通矩阵A：
①特征值不同 (${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$)：特征向量 ${\xi }_1{\xi }_2$一定线性无关
②特征值相同 (${\lambda }_1={\lambda }_2$)：特征向量${\xi }_1{\xi }_2$ 可能无关，可能相关
2.A可相似对角化最本质的充要条件：A有n个线性无关的特征向量

(3)相似对角化的性质

相似的两矩阵若均可相似对角化，则可以相似于同一个对角矩阵。该对角矩阵的主对角线元素即为特征值 λ₁、λ₂、λ₃

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例题0：给定矩阵A，求可逆矩阵P，使得A可相似对角化，即$P^{-1}AP=\Lambda$

步骤：①求特征值与特征向量 λ、ξ ②验证ξ₁,ξ₂,ξ₃线性无关 ③令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$，验可逆 ④若P可逆，则有 $P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$

例题1：17年6.   相似对角化的条件

分析：
A、B为上三角矩阵，C为对角矩阵。显然，A、B、C的特征值均为 2，2，1。
判断A、B是否与C相似， 即A、B能否相似对角化。
由相似对角化的充要条件：2重根,要有2个线性无关的特征向量，n-r(λE-A)=3-1=2 ∴r(λE-A)=1

显然，r(2E-A)=1，而r(2E-B)=2，∴A可以相似对角化，B不可以

答案：B

例题2：15年21.(2)

求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵：
只需求出其特征值，以及对应的n个线性无关的特征向量即可

分析：
①求特征值：A~B，∴A和B特征值相同。因为B的0更多，特征值更好求，所以用矩阵B来求特征值。
②求特征向量：分别将3个特征值λ代入λE-A，化简矩阵，得线性无关的特征向量

解题步骤：
①|λE-B|= |三阶行列式| =(λ-1)²(λ-5) ∴B的特征值为1，1，5
∵A~B ∴A的特征值也为1，1，5

②将λ=1代入(λE-A)x=0，即(E-A)x=0
E-A =()→()，得A的属于特征值λ=1的线性无关的特征向量为α₁=( )，α₂=( )

将λ=5代入(λE-A)x=0，即(5E-A)x=0
5E-A=()→()，得A的属于特征值λ=5的线性无关的特征向量为α₃=( )

令P=(α₁,α₂,α₃)，则P^-1AP = ʌ =()

例题3：19年21.(2)

例题4：20年20.(2)

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3.实对称矩阵的相似对角化

1.实对称矩阵对角化的性质、步骤

1.实对称矩阵的性质
①实对称矩阵必能相似对角化
②实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量
③实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量一定正交

④实对称矩阵的特征值都是实数
⑤非零的幂零矩阵一定不能相似对角化

2.对于任一n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得$$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$为A的n个实特征值，矩阵Q的列向量为A的依次对应于${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$的两两正交的单位特征向量

3.根据上述结论，总结出正交变换矩阵Q将实对称矩阵A对角化的步骤为：
(1)求出A的全部特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$
(2)对每个特征值${\lambda }_i$，求出其特征向量
(3)将特征向量正交化，再单位化
(4)将这些单位向量作为列向量构成正交矩阵Q，从而有$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

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例题1：证明：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交

例题2：23李林四(一)6.

分析：

答案：B

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2.正交矩阵、正交变换

(1)正交矩阵Q

1.正交矩阵定义：$Q{Q}^T=Q^{T}Q=E$

两向量正交：内积为0

2.正交矩阵性质：(A,B均为n阶正交矩阵)
(1) $Q^{-1}=Q^T$
(2) Q的各行向量两两正交，各列向量两两正交
(3)$|Q|=\pm 1$
(4)$Q^{-1}、Q^T、QB$也是正交阵
(5)方阵Q是正交矩阵的充要条件：Q的列向量组或行向量组为标准正交向量组

3.求正交矩阵Q，使得${\mathrm{Q}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AQ}$为对角矩阵：
①求A的特征值：即求A的特征方程|λE-A|=0的全部解
②求A的特征向量：对求得的每一个特征值，将其代入$(\lambda E-A)x=0$，求出每个特征值对应的特征向量
③特征向量正交化
④特征向量单位化。然后组成正交矩阵Q

(2)正交变换

1.定义：
若Q为正交矩阵，则线性变换x=Qy称为正交变换。正交变换属于相似变换，不改变矩阵的特征值。
对任一n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q 使得A可以相似对角化，即 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

2.性质：
(1)正交变换保持向量的内积不变
(2)正交变换保持向量的长度不变
(3)正交变换保持向量的夹角不变

只会将图形在坐标系中旋转，而不会扭曲图形

正交变换，既相似又合同

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例题1：11年13.   正交变换不改变矩阵的特征值、行列式=特征值之积

分析：

答案：1

例题2：22年21.(2)   ①二次型的定义 ②求正交矩阵、正交变换法化二次型为标准型 ③配方法

答案：

例题3：20年20(2)

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3.反求参数、反求矩阵A、$A^k$

$P^{-1}AP=\Lambda$，则有：
①$A=P\Lambda P^{-1}$
②$A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$
③$f(A)=Pf(A)P^{-1}$

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例题1：

分析：
$f({\lambda }_1)=f(1)=-2，f({\lambda }_2)=f(2)=-2，f({\lambda }_3)=f(3)=-2$

$B=f(A)=Pf(\Lambda )P^{-1}=P\left(\begin{array}{ccc}f({\lambda }_1)& & \\ & f({\lambda }_2)& \\ & & f({\lambda }_3)\end{array}\right)P^{-1}=-2PE{P}^{-1}=-2E$

答案：-2E

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4.两矩阵是否相似的判别与证明

1.判断A B 相似：
①定义法：$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$
②传递法：$A\sim {\Lambda }_1,B\sim {\Lambda }_2，{\lambda }_A={\lambda }_B$，则${\Lambda }_1={\Lambda }_2$，即$A\sim \Lambda \sim B$

(1)两个实对称/可相似对角化的矩阵相似的充要条件：

两实对称矩阵/两可相似对角化的矩阵 相似 ⇦⇨ 特征多项式相同 ⇦⇨ 特征值全部相同

对于普通矩阵来说，特征多项式相同、特征值相同，只是相似的必要条件。
但对于两个 实对称/可对角化 的矩阵 来说，特征多项式相同、特征值相同等相似的必要条件，就变成了相似的充分必要条件。

证明：
1.若A、B均可相似对角化，且A、B特征值相同，则A、B相似于同一个对角阵。则$P^{-1}AP=\Lambda ，A\sim \Lambda P^{-1}BP=\Lambda ，B\sim \Lambda$
由相似的传递性，可知$A\sim \Lambda \sim B，\therefore A\sim B$

2.若A、B均为实对称矩阵。实对称矩阵一定可以相似对角化，再接1的证明

条件由强到弱依次是：
①实对称
②不对称但可相似对角化
③不对称，也不可相似对角化

(2)非实对称矩阵相似

(1)充要条件：若两矩阵相似，则特征矩阵也相似，则特征矩阵的秩相等。即 $A\sim B⇦⇨kE-A\sim kE-B$
(2)必要条件：A~B → r(A)=r(B)
λE-A ~ λE-B → r(λE-A) = r(λE-B)

证明：

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例题1：18年5.

分析：
显然，M、A、B、C、D的特征值均为1，1，1。$M\sim A⇦⇨kE-M\sim kE-A\to r(kE-M)=r(kE-A)$
r(E-M)=2，r(E-A)=2，r(E-B)=r(E-C)=r(E-D)=1，∴E-M~E-A

答案：A

例题2：13年06.   实对称矩阵相似的充要条件：特征值相同

分析：

答案：B

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第6章 二次型

(一) 二次型的定义与矩阵表示

1.二次型定义

二次型的矩阵表达式：$f(x)=x^{T}Ax$
即 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+a_{33}{x}_3^2+$ $(a_{12}+a_{21})x_1{x}_2+(a_{13}+a_{31})x_1{x}_3+(a_{23}+a_{32})x_2{x}_3$

A为实对称矩阵 ($A=A^T$)，称为二次型的系数矩阵。

平方项：$x_i^2$、交叉项(混合项)：$x_i{x}_j、x_j{x}_i$

2.二次型的矩阵表示：二次型与矩阵的对应关系

1.看到二次型能写出矩阵，看到矩阵能写出它的二次型。
2.二次型f的矩阵，就是A，不能带x。二次型的定义是$f(x)=x^{T}Ax$

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例题1：02年4.

分析：对二次型进行正交变换得标准形，实际上就是对矩阵进行相似对角化。正交变换得到的标准形对应矩阵都是对角矩阵，标准形系数都是特征值。

答案：2

例题2：23李林六套卷(五)15.   二次型定义、合同的定义及性质

答案：

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3.二次型与二次曲面

二次型与二次曲面：直接求特征值，根据特征值正负判断曲面类型

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例题1：16年06.  二次型与二次曲面

分析：求特征值，看正负惯性指数，判断曲面类型

答案：B

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(二) 化二次型为标准型、规范型

1.可逆线性变换 X=CY

2.合同

(1)定义

设A,B为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 $B=C^{T}AC$，则称 矩阵A与B合同。记作$A\simeq B$。此时称对应的二次型f(x)与g(y)为合同二次型。

(2)性质

1.两是对称矩阵A、B合同：
⇦⇨ A、B 正、负惯性指数 相同 【两合同矩阵的正负特征值个数相同】
⇦⇨ A、B 正惯性指数相同 + 秩相同
⇦⇨ p、q、r均相同

2.对称矩阵和不对称矩阵，不可能合同

证明：设A与B合同，A=A^T，B≠B^T。
存在可逆矩阵C，使得 C^TAC=B①。两边取转置得，C^TA^TC=B^T
∵A=A^T，得C^TAC=B^T②
∵B≠B^T ∴①与②矛盾。故对称矩阵与不对称矩阵不合同。

(3)相似与合同

(两实对称矩阵)相似→合同：(实对称矩阵)相似 ⇨ 特征值相同 ⇨ 正负特征值个数一定相同 ⇨ 合同

两实对称矩阵：若相似，则一定合同。
对称矩阵与非对称矩阵，一定不合同。

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例题1：

例题2：07年8.

分析：相似还是合同，只需要看特征值

由|λE-A|=0求得A的特征值为3,3,0。对角阵B的特征值为1,1,0。可见AB特征值不相同，不相似。但是 正惯性指数和秩相同，因此AB合同。

答案：B

例题3：01年9.

分析：A、B均为实对称矩阵
由|λE-A|=0求得A的特征值为 λ₁=4,λ₂=λ₃=λ₄=0
对角阵B的特征值也为λ₁=4,λ₂=λ₃=λ₄=0
特征值相同，∴A、B相似。
特征值相同，则正负惯性指数也必然相同，∴A、B合同

答案：A

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3.标准形、规范形

1.标准形：
与对角矩阵对应的二次型f( 只含有平方项)，即为标准形。

2.规范形：
平方项的系数为+1或-1

①为什么要化为“标准形”、“规范形”？
答：标准形、规范形只含平方项，二次型对应的二次曲面方便找出最大值。
②如何化为标准形、规范形？
对A做相似对角化，化为相似的对角阵，主对角线元素均为特征值。满足只含平方项。

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例题1：18年20(2)   线性方程组、规范形

分析：
(1)平方和为0，则每个括号内都为0
(2)

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(1)正交变换法 化二次型为标准形：得对角阵，系数为特征值

1.定理
任意给定实二次型 $f=x^{T}Ax(A^T=A)$，一定存在正交变换 $x=Qy$，使f 化为标准形 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$ 。其中${\lambda }_i(i=1,2,...,n)$为二次型矩阵A的特征值。

2.性质
①正交变换相当于对实对称矩阵A做了相似对角化，得到的平方项系数即为A的特征值。【而配方法得到的系数一般不是特征值。】
②正交变换法只能化二次型为标准形，不能化为规范形（除非特征值都属于{1,-1,0}）

3.用正交变换化二次型为标准形的步骤：
(1)写出二次型对应的实对称矩阵A
(2)求出A的所有特征值和特征向量
(3)将特征向量正交化、单位化，得η₁,η₂,…,η_n，得正交矩阵Q=(η₁,η₂,…,η_n)
(4)作正交变换 x=Qy，得f的标准形：$f=x^{T}Ax\stackrel{\mathrm{x}=\mathrm{Qy}}{=}(Qy{)}^{T}AQy=y^T(Q^{T}AQ)y=y^T(Q^{-1}AQ)y=y^T\Lambda y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$
其中正交变换为$x=Qy=(正交矩阵Q)(列向量y)$

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例题0：

例题1：15年6.

分析：

答案：A

例题2：20年20.

分析：
(1)①二次型与矩阵的对应关系 ②正交变换也是相似变换
(2) ∵二阶矩阵A、B均有2个互异的特征值，∴A、B均可相似对角化
且∵A~B，∴A、B相似于同一个对角矩阵

设A ~ Λ，则存在可逆矩阵P₁使得 $P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda$
设B ~ Λ，则存在可逆矩阵P₂使得 $P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda$
$\therefore B=P_2\Lambda P_2^{-1}=P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}$
令$P=P_1{P}_2^{-1}$，$\therefore B=P^{-1}AP$

所以，求出P₁、P₂，得$P=P_1{P}_2^{-1}$。对P进行正交化单位化，得正交矩阵Q

例题3：12年21.

分析：秩的性质、正交变换的步骤

答案：(1)a = -1

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(2)配方法 化二次型为标准形、规范形

配方法：
①将某个$x_i$的平方项及与其有关的混合项，一次性配成一个完全平方。如此，直到全部配成完全平方项。
②n元要n换，缺项要补项(+0倍$x_3$，令$y_3=x_3$)，得到$Y=C^{-1}X$
③反解出C，即 X=CY

若要化二次型为规范形，只可使用配方法。正交变换法只能化到标准形，正交变换化的标准形的系数是实对称矩阵A的特征值。

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例题1：没有平方项，创造平方项

分析：化为规范形，只能使用配方法

答案：

例题2：14年13.   配方法求二次型的标准形

分析：初等变换改变特征值，相似变换不改变特征值

答案：[-2,2]

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(三) 正定二次型

1.惯性定理

惯性定理：可逆线性变换，不改变正负惯性指数

①正惯性指数p：正特征值的个数
②负惯性指数q：负特征值的个数。满秩时，负惯性指数为奇数，行列式<0
③$r=p+q$

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例题1：14年13.

分析：
求特征值时，不可进行初等变换(初等变换会改变特征值)，不要化为行最简。此题直接求特征值困难。
满秩时，负惯性指数为奇数，行列式<0

答案：[-2,2]

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2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别

(1)概念

设 $f=x^{T}Ax(A^T=A)$为实二次型，若对于任意非零向量$x$，
(1)恒有 x^TAx >0，则称 f=x^TAx 为正定二次型，称矩阵A为正定矩阵；
恒有 x^TAx <0，则称f=x^TAx 为负定二次型，称矩阵A为负定矩阵；
(2)恒有 x^TAx ≥ 0，则称 f=x^TAx为 半正定二次型，称矩阵A为半正定矩阵；
恒有 x^TAx ≤ 0，则称 f=x^TAx为 半负定二次型，称矩阵A为半负定矩阵；
(3)若f=x^TAx的值时而为正，时而为负，则称 f=x^TAx 为不定二次型

(2)性质(充要条件)

矩阵A正定 (抽象型矩阵：先说A是实对称，$A^T=A$，再用充要条件)
⇦⇨ ①A的各阶顺序主子式 ${\Delta }_i>0$ (从左上角或右下角开始都可) 【具体型矩阵】
⇦⇨ ②A的所有特征值均为正值 ${\lambda }_i>0$ 【具体型、抽象型】
⇦⇨ ③A的正惯性指数 $p=r=n$ 【配方法求】
⇦⇨ ④对任意n维非零列向量 $x$，总有 $f=x^{T}Ax>0$ (正定的定义)
⇦⇨ ⑤A与单位阵E合同，即 $P^{T}AP=E$
⇦⇨ ⑥存在可逆矩阵Q，使得 $A=Q^{T}Q$