目录
一、红黑树概念
二、红黑树节点结构设计
三、插入操作
处理情况1
处理情况2
处理情况3
插入总结：
四、插入操作源码
五、红黑树验证
一、红黑树概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍（由规则二三四来保证），因而是接近平衡的。因为最长路径为一黑一红，最短路径为全黑。
红黑树还必须满足以下规则：
1. 每个结点不是红色就是黑色（非红即黑）
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（没有连续的红色）
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点（每条路径上黑色节点的数量相等）（从这一规则也可以得出，在插入一新节点时，该节点必须为红，才会满足该条件）
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点
规则四演示：
二、红黑树节点结构设计
因为红黑树节点非红即黑，所以可以用枚举的思想来例举红节点和黑节点。因为在插入的过程中，可能会存在翻转的情况，所以就需要一个节点的父节点_parent,左孩子_left,右孩子_right。
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left; // 左孩子
RBTreeNode<K, V>* _right; // 右孩子
RBTreeNode<K, V>* _parent; // 红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段
pair<K, V> _kv; //值域
Colour _col; //颜色
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) //初始化
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
{}
};三、插入操作
根据规则4，可以得出在插入一个新节点的时候，这个节点一定是为红色的（上已证）。在插入红色节点的时候可能还是会造成红红节点的冲突（违反规则3），所以我们还需要进行变色+旋转的处理方法
在插入新节点后，因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其父亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何规则，则不需要调整；但当新插入节点的父亲节点颜色为红色时，就违反了规则3不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：为方便我们进行变色和旋转的处理，我们定义父亲节点为p，叔叔节点为u，祖父节点为g，当前节点为cur（新增）。实际上，根据红黑树的规则，我们可以确定要发生变色或旋转操作时，cur、p、g节点一定是红、红、黑，如果不满足这种情况，那么肯定这颗红黑树在次之前就违背的红黑树的规则。所以变化操作主要取决于叔叔节点u的颜色。如下抽象图表示，s/b/c/de代表的是满足规则的子树。
处理情况1
cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
处理方法：叔叔u和父亲p变黑，祖父g变红,再往上进行处理，如果g是根节点，需要把g再变黑，因为根节点必须是黑（规则2）。再往上处理的过程中因为会存在当前g的父节点为红的情况，又再次冲突，所以要进行处理.
处理情况2
cur为红且在外侧，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
u的两种情况：
1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4:每条路径黑色节点个数相同。
⒉.如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色。
处理方法：单旋+变色。按p节点进行右旋，此时p为红，g为黑，再将p和g的颜色进行交换，即满足红黑树规则。（若p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转，p、g变色--p变黑，g变红）。处理完成后不需要再进行往上处理，因为此时p为黑，p的父亲节点为黑或红都不会对树产生影响。
处理情况3
cur为红且在内侧，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
处理方法：双旋+变色
u不存在情况：
若p在g的左侧，cur在内侧，则先对g的左子树进行左旋，在对g这棵子树进行右旋；反之，p在g的右侧，cur在内存，就先右旋再左旋再交换cur和g的颜色。
u存在情况：
像这种情况，都是由情况一经过处理后得来的，此时就需要先对g的左子树进行左单旋，旋转后，就会变为情况二，此时再根据情况二的解决方法进行解决，右旋+变色，旋转后将cur和g的颜色进行交换即可。（如果最开始p是在右子树，则操作相反，先右旋再左旋变色。）
插入总结：
1.红黑树插入的节点一定为红色
2.处理三种可能的情况关键在于叔叔节点u
3.u存在且为红（情况一），将p和u节点变黑，g节点变红，若g为根节点就将g变为黑色
4.情况二和情况三都是由情况一经过变化后得来的
4.u不存在或存在且为黑，插入的节点cur在p的外侧（情况二），若p是左子树就进行右旋+交换p、g颜色；若p是右子树，反之，左旋+交换颜色。
5.u不存在或存在且为黑，插入节点cur在p的内侧（情况三），若p是左子树就先进行左旋变为情况二，再进行右旋+交换颜色。反之p为右子树，先进行右旋变为情况二，在进行左旋+交换颜色。
四、插入操作源码
插入源码：
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED) // parent为红色就需要变色处理，因为插入的节点为红
{
Node* grandfater = parent->_parent; //祖父节点
assert(grandfater);
assert(grandfater->_col == BLACK);
// 关键看叔叔
if (parent == grandfater->_left)
{
Node* uncle = grandfater->_right; //叔叔节点
// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfater; // 往上处理的时候把祖父当做插入的节点即cur
parent = cur->_parent;
}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑
else
{
// 情况二：右单旋+变色
// g
// p u
// c
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// 情况三：左右单旋+变色
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
break;
}
}
else // (parent == grandfater->_right)
{
Node* uncle = grandfater->_left;
// 情况一
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// 情况二：左单旋+变色
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// 情况三：右左单旋+变色
// g
// u p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
旋转操作的源码解析可以参考这篇博文：http://t.csdn.cn/iyMac
左旋：
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
右旋：
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root == parent)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
}
五、红黑树验证
验证方法：判断从根节点起的每一条子路径中的黑节点数是否相等（规则4）。利用递归的思想遍历每一条路径。再遍历第一条路径的时候，设置一个benchmark记录黑色节点数量，因为规则4，所以后面每一条路径的黑节点数应该都要与之相等，如果不等则不是红黑树。再遍历每一条路径的同时，也可以寻找是否存在连续的红节点（规则三），存在则不满足为红黑树。依次递归每一条路径。
源码：
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
{
return true;
}
if (_root->_col == RED)
{
cout << "根节点不是黑色" << endl;
return false;
}
// 黑色节点数量基准值
int benchmark = 0;
return PrevCheck(_root, 0, benchmark);
}
bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark)
{
if (root == nullptr)
{
if (benchmark == 0)
// 遍历第一条路径的时候，记录他的黑节点数，后面每一条路径的黑节点数一个都和他相等
{
benchmark = blackNum;
return true;
}
if (blackNum != benchmark)
{
cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
else
{
return true;
}
}
if (root->_col == BLACK)
{
++blackNum;
}
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)
&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);
}
void TestRBTree()
{
size_t N = 1000;
srand(time(0));
RBTree<int, int> t1;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
int x = rand();
cout << "Insert:" << x << ":" << i << endl;
t1.Insert(make_pair(x, i));
}
cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl; //打印1则是红黑树，否则不是
}
