基础回顾

电路系统的传函

记基本量为：

电量（库伦） $q$ 、电流 $i$ 、电压 $e$ 、电阻 $R$ 、电容 $C$ 、电感 $L$

电阻 $e_R=iR$ ，阻抗 $R$

电容 $q=Ce_C$ ，故 $e_C=\frac{1}{C}q=\frac{1}{C}\int_o^ti \mathrm{d}t$ ，容抗 $\frac{1}{sC}$

电感 $e_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ ，感抗 $s L$

一阶系统与bode图

一阶系统传函为 $\frac{a}{s+a}$ ，或写为 $\frac{1}{s+\tau}$ ，其中 $\tau=1/a$ ，称时间常数。3 $\tau$ 可达到98%稳态值

求其阶跃响应， $\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s}\cdot\frac{a}{s+a}]=1-e^{-at}$ 。电路中典型的一阶系统是一阶RC滤波器。

令 $s=j\omega$ ，可得一阶RC系统的bode图，其两条渐近线的交点频率是 $1/\tau$ 。注意标准bode图的横轴单位是 $r a d / s$ ，电路系统则一般使用 $Hz$ ，1Hz= $2\pi rad/s$ ，所以下图中 $f_p$ 含有 $2\pi$ 。
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稳定性判据

经典控制理论中多用奈奎斯特图和劳斯判据等工具来判断闭环系统稳定性，而在电路分析中则主要使用bode图来判断。
对于如下的闭环系统：
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其闭环传递函数是 $\frac{G}{1+GH}$ ，其中GH称前向传递函数。当分母 $1 + G H$ 为0时（即 $G H = - 1$ ）系统不稳定，因此只要分析前向传递函数GH的特性即可判断系统稳定性。
$G H = - 1$ 这一点在伯德图上的体现是（0dB, -180°）。在前向传函 $G H$ 的伯德图中，增益到达0dB的频率称为截止频率，此频率对应的相角距离-180°的角度差即相位裕度。相对应的，-180°相移对应频率的增益值距离0dB的差为增益裕度。这组判据称为对数频率稳定判据。
MATLAB中，可用bode函数绘制传递函数的伯德图，右键可开启相位裕度游标。
工程上实用的系统一般要求至少具有45°的相位裕度，最好大于60°。
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相位裕度也可通过在时域上观测过冲量来判断。

上图的对应关系是假定电路系统为二阶系统得到的，很实用，详见过冲与相位裕量。如果需要至少45°的稳定裕度，则过冲（超调）在20%以内即可。相位裕量60°时过冲约8.8%，相位裕量大于70˚以上时已经几乎没有过冲。

运放稳定性分析

运放模型

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如下图，典型电压反馈运放由差分输入级，增益级，推挽输出级串联构成，其中C1很重要，是运放内部的补偿电容，这个补偿电容极大提高了运放的稳定范围（不同增益，不同负载条件）。

大多数运算放大器的响应特性都表现为二阶系统。典型的运算放大器 Aol 在 10Hz 至 100Hz 区域内有一个低频极点，在其单位增益交叉频率处或紧随其后的频率处有另一个高频极点，如下图：
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更复杂的运算放大器电路可能有3到4个极点，但环路增益和环路相位图通常仍由两极点响应主导。

加入外部反馈电阻后的运放电路构成闭环系统：
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称 $A o l$ 为开环增益（运放）， $\beta$ 为反馈系数（外部反馈网络）， $Aol\beta$ 为环路增益（Loop Gain, 就是控制中的前向传函）， $Acl=\frac{Aol}{1+\beta Aol}$ 为闭环增益，一般Aol都非常大，故 $\approx \frac{1}{\beta}$ 。
依据控制理论中的对数频率稳定判据，只要通过bode图研究环路增益 $\beta$ ，即可判断这个运放电路的稳定性。

bode图仿真与稳定性判断

$\beta$ 的bode图可用仿真软件得到，思路是：
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具体操作的时候会使用电感、电容代替导线来实现环路的断开与测试信号连接，这是因为基于SPICE的电路仿真软件在进行交流分析之前会先找到直流工作点，因此环路必须针对直流闭合并针对交流打开。
具体方法如下。以同相放大电路的分析为例：
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我们用大电感断开Vout到反馈电阻RF的交流连接，并通过大电容向反馈电阻RF注入测试激励VG1，同时将原来的在同相端的输入VIN置为0（接地即可），则VOUT即环路增益 $Aol\beta$ 。

用multisim软件对此电路进行仿真：
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可见环路增益 $Aol\beta$ 穿过0dB线的频率约40KHz。相位从180°开始下降，到40KHz处降低至约80°，变化了110°，相位裕度80°，电路很稳定。
由于对数关系下，Aolβ = Aol(dB) – 1/β(dB)，也可分别画出Aol和β的bode图，其交点处 $Aol\approx \beta$ ，即是 $Aol\beta$ 穿过0dB的位置。这种表示方法的好处是能直观的看到环路内各部分和总体响应之间的关系，在反馈网络较复杂时尤其有用。下图绿色线是 $1/\beta$ ，蓝色线是 $A o l$ 。
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两条曲线的闭合率也可用于判断稳定性，当闭合率大于40dB/dec，则说明至少有两个极点，这就有可能产生180度相移（一个极点最多90°）。
例如：

反馈网络是RF串上Cin和RI的并，可求出传函是 $\frac{1e^{-7} s + 666.7}{s + 666.7}$ 它有一个极点一个零点。
注意绿色线是 $1/\beta$ ，它的零点是 $\beta$ 的极点，它的极点是 $\beta$ 的零点，所以这里 $1/\beta$ 的零点是 $Aol\beta$ 上的极点。
仿真中可看到此时的闭合速度有40dB/dec，不稳定。
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环路稳定性补偿方法

Riso补偿

运放接容性负载时通常会震荡的很厉害。这是由于负载电容和运放内部输出电阻Ro一起形成了一个新的极点：在这里插入图片描述
从下面的bode图仿真结果中可见，负载电容引入了一个在2KHz左右的新极点，令穿越频率处闭合率为40dB/dec，导致系统不稳定。
注意下图中绿色线是 $1/\beta$ ，但蓝色线不仅仅是Aol，而是Loaded Aol，即Aol和负载极点的共同响应。由于仿真软件中没法在运放模型内部的输出电阻Ro前加探针，因此想得到纯Aol曲线需要一些技巧，后文会说明。
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为了使得系统稳定，可在运放输出端和负载电容之间串联一个小电阻，称为Riso补偿(iso意为isolation)，引入这个电阻后，反馈网络的传函变为 $\frac{{\left(C_l \,R_{\textrm{iso}} \right)}\,s+1}{{\left(C_l \,R_{\textrm{iso}} +C_l \,R_o \right)}\,s+1}$ ，比之前增加了一个零点，这个零点的抬升作用使得高频段的相位滞后降低，从而使得系统稳定。Riso的取值主要取决于负载电容的值和运放输出电阻的值，可通过仿真试凑决定，通常在欧姆量级。
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CF补偿

当运放的反馈电阻取值很大时，反馈电阻会和运放的输入电容一起形成一个极点，位于 $\frac{1}{2\pi C_{in}(RF//RI) }$ 频率处：
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$\beta$ 的传函为 $\frac{\mathrm{RF}\,\mathrm{RI}}{{\left(C_{\textrm{in}} \,\mathrm{RI}\right)}\,s+\mathrm{RF}\,\mathrm{RI}+1}$ 。

CF补偿方法就是在RF上再额外并联一个电容，这可额外制造一个零点，使得传函变为 $\frac{{\left(C_{\textrm{in}} \,\mathrm{RF}\,\mathrm{RI}\right)}\,s+\mathrm{RF}}{{\left(\mathrm{CF}\,\mathrm{RF}\,\mathrm{RI}+C_{\textrm{in}} \,\mathrm{RF}\,\mathrm{RI}\right)}\,s+\mathrm{RF}+\mathrm{RI}}$ 。
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可通过下面的原则大致确定补偿电容CF的取值：

确定放置频率后通过 $f=\frac{1}{2\pi*CF*RF}$ 反求出来所需的CF。

具有双反馈路径的运放电路稳定性分析

下图是一个非常经典且重要的双反馈电路，常用在需要驱动大电容的情况，如缓冲参考电压源。这个电路参数选取不当很容易震荡，设计时很有必要进行稳定性分析。
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这个电路中，FB#1 通过 RF 强制 CL 上的 Vout 准确，FB#2 通过 CF 在高频下占主导地位以确保稳定性。Riso 在 FB#1 和 FB#2 之间提供隔离。
绘制其环路增益的技巧是分别画两个反馈网络的响应 $1/\beta$ ，两个反馈环的联合响应由最小 $1/\beta$ 分量所主导：
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设计此类电路时需特别注意设计好两个反馈环路的零级点位置，以免出现下图的情况，这会导致增益峰值，通常不稳定。

要通过仿真得到这个电路的bode图稍微麻烦一些，难点主要在 $1/\beta$ 曲线。前文说过，由于仿真软件中没法在运放模型内部的输出电阻Ro前加探针，因此想得到纯Aol曲线需要一些技巧，见下图：
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利用一个传输系数为1的压控电压源（VCV1），可以将Ro从运放模型内部等效出来，方框内的电路等效原始运放模型，其中Ro是开环输出电阻，可查数据手册得到，亦可从SPICE模型中测得，见附录。
通过上面这种方法，我们就等效的将探针放进运放内部了。
仅反馈环路1：
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注：上图电路没加入输入电容，结果少个6MHz的极点。

仅反馈回路2：
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完整反馈回路（FB1+FB2）：

红： $Aol\beta$ 绿：Aol 蓝： $1/\beta$ 。
设计取值技巧：
（1）令Riso约为1/10Ro
（2）仿真出FB1的bode图，得到fz1（零点1）
（3）选择RF CF使得FB2的bode图极点接近fz1。也就是 $RF*CF\approx CL*(Ro+Riso)$ 。

附录

运放Zo仿真方法

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这里的测试电路在反馈路径中使用电感器 LT 作为直流工作点分析的短路。接地输入上的电容器 CT 对于 DC 分析是开路的，并且在 AC 分析期间将短路所有感兴趣的频率。电流发生器 IG1 设置为直流电流 =0，并选择交流电流为 1。在交流分析期间，IG1 将电流注入输出 Vout，并且运算放大器处于开环状态。 AC Analysis 将 Vout（以 dB 为单位）与频率的关系报告为 Vout/IG1 的比率，即 Zo（以 dB 为单位）。要将 dB 单位的 Zo 转换为欧姆单位的 Zo，只需将 y 轴刻度从 dB 线性更改为线性。

参考资料

Tim Green. Solving Op Amp Stability 2015_TG.pptx
Tim Green. 运算放大器稳定性分析(TI合集)
Feedback Amplifier Analysis Tools
Stability Analysis of Voltage-Feedback Op Amps Including Compensation Techniques
运算放大器稳定性分析——稳定性分析