题目大意

$\text{Yoshinow2001}$ 正在为他的问题生成数据。他想要生成 { 0 , … , n − 1 } \{0,…,n−1\} {0,…,n−1} 的一个随机排列，因此他使用了以下算法：

在这里，我们可以假设函数 $\mathrm{rand}()\mathrm{mod}n$ 能够以等概率地在集合 { 0 , . . . , n − 1 } \{0,...,n-1\} {0,...,n−1} 中生成随机整数。

现在 $\text{Yoshinow2001}$ 担心这个算法不够随机。毕竟，如果要随机排列一个序列，使得 $a_i\ne i$ 的元素数量的期望应该是 $n-1$。所以他想询问最终答案 $ans$ 的数学期望是多少。

思路

期望DP。

我们设 $f_i$ 表示 $i$ 次交换后当前值在原位的概率，$g_i$ 表示 $i$ 次交换后当前值不在原位的概率。

于是乎我们容易推出以下式子：

$$\begin{gathered} f_i=g_{i-1}\cdot \frac{2}{n^2}+f_{i-1}\cdot \frac{(n-1{)}^2}{n^2} \\ {g}_i=g_{i-1}\cdot \frac{n^2-2}{n^2}+f_{i-1}\cdot \frac{2n-2}{n} \end{gathered}$$

于是乎把这个式子往上怼就可以了。（拿下）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 998244353;
LL n, m;
struct matrix {
    LL a[2][2];
    matrix operator* (const matrix &x) const {
        matrix ans;
        ans.a[0][0] = (a[0][0] * x.a[0][0] + a[0][1] * x.a[1][0]) % mod;
        ans.a[0][1] = (a[0][0] * x.a[0][1] + a[0][1] * x.a[1][1]) % mod;
        ans.a[1][0] = (a[1][0] * x.a[0][0] + a[1][1] * x.a[1][0]) % mod;
        ans.a[1][1] = (a[1][0] * x.a[0][1] + a[1][1] * x.a[1][1]) % mod;
        return ans;
    }
};
LL ksm(LL a, LL b) {
    LL ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
matrix ksm(matrix a, LL b) {
    matrix ans = a;
    b--;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        n %= mod;
        LL invsqrn = ksm(n * n % mod, mod - 2);
        matrix aa;
        aa.a[0][0] = ((n * n - 2 * n + 2) % mod * invsqrn % mod + mod) % mod;
        aa.a[0][1] = (1 - aa.a[0][0] + mod)%mod;
        aa.a[1][0] = 2 * invsqrn % mod;
        aa.a[1][1] = (1 - aa.a[1][0] + mod) % mod;
        if (m) aa = ksm(aa, m);
        printf("%lld\n", aa.a[0][1] * n % mod);
    }
}