一、最长回文子序列
链接：力扣
描述：给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
思路如下：对于回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。
回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的，回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。
思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。
动态规划五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2、确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如图：
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
3、dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和 j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
4、确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
对于j的话，可以正常从左向右遍历。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
5、举例推导dp数组
输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
代码如下：
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s)
{//dp[i][j]:在区间s[i]和s[j]之间的最长回文子序列的长度
vector<vector<int>>dp(s.size(), vector<int>(s.size()));
//初始化
for (int i = 0; i < s.size(); i++)
{
dp[i][i] = 1;//i和j相等的时候的最长回文子序列的长度为1
}
for (int i = s.size()-1; i>=0; i--)
{//从下到上遍历
for (int j = i+1; j < s.size(); j++)
{//从左向右遍历,因为i和j相等的时候已经进行了初始化，因此j需要从i+1算起
if (s[i] == s[j])
{
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
}
else
{
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][s.size() - 1];
}
};运行如下：
二、回文子串
链接：力扣
描述：给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
思路如下：
动规五部曲：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候很自然就会想题目求什么，就应该如何定义dp数组。
绝大多数题目确实是这样，不过本题如果定义，dp[i]为下标i结尾的字符串有dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以要看回文串的性质。 如图：
在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]））是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2、确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
result就是统计回文子串的数量。
当s[i]与s[j]不相等的时候，在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
3、dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false。
4、确定遍历顺序
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
5、举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
代码如下：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s)
{//dp[i][j]：以[i,j]为区间的子字符串是否是回文串
vector<vector<bool>>dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
int result = 0;//记录回文子串的个数
//遍历顺序是从下往上，从左往右
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--)
{
for (int j = i; j < s.size(); j++)
{
if (s[i] == s[j])
{//相同的元素的情况
if (j - i <= 1)
{
//只有一个或者两个元素的子串
//此时是回文子串
result++;
dp[i][j] = true;
}
else
{
//此时子串的长度大于2
if (dp[i + 1][j - 1] == true)
{
//是回文子串
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
}
return result;
}
};运行如下：
