一、说明

在上一个故事中，我们介绍了机器学习的一些最相关的编码方面，例如 functional 规划、矢量化和线性代数规划。

本文，让我们通过使用 2D 卷积实现实际编码深度学习模型来开始我们的道路。让我们开始吧。

二、关于本系列

我们将学习如何仅使用普通和现代C++对必须知道的深度学习算法进行编码，例如卷积、反向传播、激活函数、优化器、深度神经网络等。

查看其他故事：

0 — 现代C++深度学习编程基础

2 — 使用 Lambda 的成本函数

3 — 实现梯度下降

4 — 激活函数

...更多内容即将推出。

三、卷积

卷积是信号处理领域的老朋友。最初，它的定义如下：

在机器学习术语中：

我（...通常称为输入
K（...作为内核，以及
F（...）作为给定 K 的 I（x） 的特征映射。

考虑一个多维离散域，我们可以将积分转换为以下求和：

最后，对于2D数字图像，我们可以将其重写为：

理解卷积的一种更简单的方法是下图：

我们可以很容易地看到内核在输入矩阵上滑动，生成另一个矩阵作为输出。这是卷积的简单情况，称为有效卷积。在这种情况下，矩阵的维度由下式给出：Output

dim(Output) = (m-k+1, n-k+1)

这里：

m分别是输入矩阵中的行数和列数，以及n
k是平方核的大小。

现在，让我们对第一个 2D 卷积进行编码。

四、使用循环对 2D 卷积进行编码

实现卷积的最直观方法是使用循环：

auto Convolution2D = [](const Matrix &input, const Matrix &kernel)
{
    const int kernel_rows = kernel.rows();
    const int kernel_cols = kernel.cols();
    const int rows = (input.rows() - kernel_rows) + 1;
    const int cols = (input.cols() - kernel_cols) + 1;

    Matrix result = Matrix::Zero(rows, cols);

    for (int i = 0; i < rows; ++i) 
    {
        for (int j = 0; j < cols; ++j) 
        {
            double sum = input.block(i, j, kernel_rows, kernel_cols).cwiseProduct(kernel).sum();
            result(i, j) = sum;
        }
    }

    return result;
};

这里没有秘密。我们将内核滑过列和行，为每个步骤应用内积。现在，我们可以像以下那样简单地使用它：

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>

using Matrix = Eigen::MatrixXd;

auto Convolution2D = ...;

int main(int, char **) 
{
    Matrix kernel(3, 3);
    kernel << 
        -1, 0, 1,
        -1, 0, 1,
        -1, 0, 1;

    std::cout << "Kernel:\n" << kernel << "\n\n";

    Matrix input(6, 6);
    input << 3, 1, 0, 2, 5, 6,
        4, 2, 1, 1, 4, 7,
        5, 4, 0, 0, 1, 2,
        1, 2, 2, 1, 3, 4,
        6, 3, 1, 0, 5, 2,
        3, 1, 0, 1, 3, 3;

    std::cout << "Input:\n" << input << "\n\n";

    auto output = Convolution2D(input, kernel);
    std::cout << "Convolution:\n" << output << "\n";

    return 0;
}

这是我们第一次实现卷积 2D，设计为易于理解。有一段时间，我们不关心性能或输入验证。让我们继续前进以获得更多见解。

在接下来的故事中，我们将学习如何使用快速傅立叶变换和托普利兹矩阵来实现卷积。

五、填充

在前面的示例中，我们注意到输出矩阵始终小于输入矩阵。有时，这种减少是好的，有时是坏的。我们可以通过在输入矩阵周围添加填充来避免这种减少：

填充为 1 的输入图像

卷积中填充的结果如下所示：

填充卷积 — 作者图片

实现填充卷积的一种简单（和蛮力）方法如下：

auto Convolution2D = [](const Matrix &input, const Matrix &kernel, int padding)
{
    int kernel_rows = kernel.rows();
    int kernel_cols = kernel.cols();
    int rows = input.rows() - kernel_rows + 2*padding + 1;
    int cols = input.cols() - kernel_cols + 2*padding + 1;

    Matrix padded = Matrix::Zero(input.rows() + 2*padding, input.cols() + 2*padding);
    padded.block(padding, padding, input.rows(), input.cols()) = input;

    Matrix result = Matrix::Zero(rows, cols);

    for(int i = 0; i < rows; ++i) 
    {
        for(int j = 0; j < cols; ++j) 
        {
            double sum = padded.block(i, j, kernel_rows, kernel_cols).cwiseProduct(kernel).sum();
            result(i, j) = sum;
        }
    }

    return result;
};

此代码很简单，但在内存使用方面非常昂贵。请注意，我们正在制作输入矩阵的完整副本以创建填充版本：

Matrix padded = Matrix::Zero(input.rows() + 2*padding, input.cols() + 2*padding);
padded.block(padding, padding, input.rows(), input.cols()) = input;

更好的解决方案可以使用指针来控制切片和内核边界：

auto Convolution2D_v2 = [](const Matrix &input, const Matrix &kernel, int padding)
{
    const int input_rows = input.rows();
    const int input_cols = input.cols();
    const int kernel_rows = kernel.rows();
    const int kernel_cols = kernel.cols();

    if (input_rows < kernel_rows) throw std::invalid_argument("The input has less rows than the kernel");
    if (input_cols < kernel_cols) throw std::invalid_argument("The input has less columns than the kernel");
    
    const int rows = input_rows - kernel_rows + 2*padding + 1;
    const int cols = input_cols - kernel_cols + 2*padding + 1;

    Matrix result = Matrix::Zero(rows, cols);

    auto fit_dims = [&padding](int pos, int k, int length) 
    {
        int input = pos - padding;
        int kernel = 0;
        int size = k;
        if (input < 0) 
        {
            kernel = -input;
            size += input;
            input = 0;
        }
        if (input + size > length) 
        {
            size = length - input;
        }
        return std::make_tuple(input, kernel, size);
    };

    for(int i = 0; i < rows; ++i) 
    {
        const auto [input_i, kernel_i, size_i] = fit_dims(i, kernel_rows, input_rows);
        for(int j = 0; size_i > 0 && j < cols; ++j) 
        {
            const auto [input_j, kernel_j, size_j] = fit_dims(j, kernel_cols, input_cols);
            if (size_j > 0) 
            {
                auto input_tile = input.block(input_i, input_j, size_i, size_j);
                auto input_kernel = kernel.block(kernel_i, kernel_j, size_i, size_j);
                result(i, j) = input_tile.cwiseProduct(input_kernel).sum();
            }
        }
    }
    return result;
};

这个新代码要好得多，因为这里我们没有分配一个临时内存来保存填充的输入。但是，它仍然可以改进。调用和内存成本也很高。input.block(…)kernel.block(…)

调用的一种解决方案是使用 CwiseNullaryOp 替换它们。block(…)

我们可以通过以下方式运行填充卷积：

#include <iostream>

#include <Eigen/Core>
using Matrix = Eigen::MatrixXd;
auto Convolution2D = ...; // or Convolution2D_v2

int main(int, char **) 
{
    Matrix kernel(3, 3);
    kernel << 
        -1, 0, 1,
        -1, 0, 1,
        -1, 0, 1;
    std::cout << "Kernel:\n" << kernel << "\n\n";

    Matrix input(6, 6);
    input << 
        3, 1, 0, 2, 5, 6,
        4, 2, 1, 1, 4, 7,
        5, 4, 0, 0, 1, 2,
        1, 2, 2, 1, 3, 4,
        6, 3, 1, 0, 5, 2,
        3, 1, 0, 1, 3, 3;
    std::cout << "Input:\n" << input << "\n\n";

    const int padding = 1;
    auto output = Convolution2D(input, kernel, padding);
    std::cout << "Convolution:\n" << output << "\n";

    return 0;
}