通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

0.01就是权重，xi是随机的输入，噪音是均值为0，方差为0.01的一个正态分布

n_train,n_test,num_inputs,batch_size = 20,100,200,5  # num_inputs特征的维度
true_w,true_b = torch.ones((num_inputs,1))* 0.01,0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train) # 生成人工训练数据集
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size) # 读取内存中的数组变成迭代器，返回的是随机挑选的数据：特征和标签
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test) 
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将的L2平方惩罚添加到原始目标函数中。

1. 初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

2. 定义L2范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

L1范数定义如下：

# 定义L1范数惩罚
def l1_penalty(w):
    return torch.sum(torch.abs(w))

最后的训练结果如下，可以看出曲线不够平滑。

3. 定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    # lambda定义了一个net（X）函数
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs): # 扫num_epochs次数据
        for X, y in train_iter: #从迭代器中读取真实的输入和输出（标签）
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
                                     
    # norm(self, input, p=2)，input是输入，p代表是求p范数，默认p=2；
    # item()返回的是一个浮点型数据
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

4. 忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)

运行结果：

w的L2范数是14.22…，训练损失一直在降，测试的损失不变，并且差值越来越大，这是非常明显的过拟合。因为损失一直在降说明一直在拟合函数，拟合噪音，但是在新的数据集上，在测试集上面看不到有任何进展，是非常严重的过拟合。

5. 使用权重衰减

我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

6. 简洁实现

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数b不会衰减。

更多关于optim.SGD第一个参数可以传入 定义了参数组的dict 的解释链接：原文链接

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)

train_concise(3)