✳️ 一、频谱泄露现象

有一个余弦信号，信号频率30Hz，信号为x(t)=cos(2π×30t)，采样频率fs=128Hz，样本长度分别取N=128和N=100，在FFT后作谱图并比较谱图中的差别。

结果如下：

上述两信号中，中心频率f0=30，采样频率fs=128，唯一差别仅是FFT的长。在N=128的谱图上只在30Hz处有一条谱线，其他频点的幅值都为0；

而在N=100的谱图上有明显的泄漏现象，谱线用红实线表示。图中用虚线和红圈点表示了30Hz的频率点，而最大两根谱线在30Hz两侧。

即出现了当N=128时FFT后没有泄漏，而当N=100时FFT发生了泄漏。

✳️ 二、原因分析以及解决方法

设信号是频率为f0，当取信号为整周期采样时，信号的频率f0=l△f，l=k，f0将与某一条谱线相重合，即第k条谱线频率为f0。整周期采样后得到的幅值谱图如下图所示：

整周期采样时幅值图谱

在整周期采样后，一样存在着泄漏的可能性，但由于信号频率f0与第k条谱线重合，k±i(i为整数值)的任意谱线正好落在零点上，所以在谱图中就没有显示泄漏现象。

当取信号为非整周期采样时，信号的频率f0不与FFT后某一条谱线重合，而是落在两条谱线的中间，例如落在第k和k+1条谱线之间，其中第k条谱线是局部极大值，如下图所示。

非整周期采样时幅值图谱

在非整周期采样时，一样存在着泄漏的可能性，由于信号频率f0在两条谱线之间，第k条谱线虽是局部的最大值，但不与f0相重合，则k±i(i为整数值)的任意谱线都是非零值，所以在谱图中存在泄漏现象

为了防止泄漏，对于单频信号可以调整采样频率使之构成整周期采样(例如在电力监测设备中，有的会用锁相技术跟踪信号频率以调整采样频率)，但大多数实际信号处理中的信号不是单频(或单频+谐波)，而是多频率的，所以泄漏是难免的。在有泄漏的情形中只能想方设法减小泄漏的影响，比如利用窗函数。虽然上述已在截断的讨论中加了矩形窗函数，但矩形窗函数的泄漏是最大的，还有其他窗函数能更好地减少泄漏。

✳️ 三、Matlab程序获取与验证

上述matlab代码链接如下：

经矩形窗截断的信号频谱泄露现象研究

可开展针对性验证实验，请私信博主。