目录

 

Level2

1.动态规划——从集合角度考虑DP问题

1.1 数字三角形模型

1.1.1摘花生

1.1.2最低通行费

1.1.3方格取数

1.1.4传纸条

1.2 最长上升子序列模型

1.2.1怪盗基德的滑翔翼

1.2.2登山

1.2.3合唱队形

1.2.4好友城市

1.2.5最大上升子序列和

1.2.6拦截导弹

1.2.7导弹防御系统

1.2.8最长上升公共子序列

1.3 背包模型

1.3.1采药

1.3.2装箱问题

1.3.3宠物小精灵之收服

1.3.4数字组合

1.3.5买书

1.3.6货币系统

1.3.7货币系统

1.3.8多重背包问题III

1.3.9庆功会

1.3.10混合背包问题

1.3.11二维费用的背包问题

1.3.12潜水员

1.3.13机器分配

1.3.14开心的金明

1.3.15有依赖的背包问题

1.3.16背包问题求方案数

1.3.17背包问题求具体方案

1.3.18能量石

1.3.19金明的预算方案

1.4 状态机模型

1.4.1大盗阿福

1.4.2股票买卖IV

1.4.3股票买卖V

1.4.4设计密码

1.4.5修复DNA

1.5 状态压缩DP

1.5.1小国王

1.5.2玉米田

1.5.3炮兵阵地

1.5.4愤怒的小鸟

1.5.5宝藏

1.6 区间DP

1.6.1环形石子合并

1.6.2能量项链

1.6.3加分二叉树

1.6.4凸多边形的划分

1.6.5棋盘分割

1.7 树形DP

1.7.1树的最长路径

1.7.2树的中心

1.7.3数字转换

1.7.4二叉苹果树

1.7.5战略游戏

1.7.6皇宫看守

1.8 数位DP

1.8.1度的数量

1.8.2数字游戏

1.8.3Windy数

1.8.4数字游戏II

1.8.5不要62

1.8.6恨7不成妻

1.9 单调队列优化的DP问题

1.9.1最大子序和

1.9.2修剪草坪

1.9.3旅行问题

1.9.4烽火传递

1.9.5绿色通道

1.9.6理想的正方形

1.10 斜率优化的DP问题

1.10.1任务安排1

1.10.2任务安排2

1.10.3任务安排3

1.10.4运输小猫

2.搜索

BFS

2.1 Flood Fill

2.1.1池塘计数

2.1.2城堡问题

2.1.3山谷和山峰

2.2 最短路模型

2.2.1迷宫问题

2.2.2武士风度的牛

2.2.3抓住那头牛

2.3 多源BFS

2.3.1矩阵距离

2.4 最小步数模型

2.4.1魔板

2.5 双端队列广搜

2.5.6电路维修

2.6 双向广搜

2.6.1字串变换

2.7 A*

2.7.1第K短路

2.7.2八数码

DFS

2.8DFS 之连通性模型

2.8.1迷宫

2.8.2红与黑

2.9DFS 之搜索顺序

2.9.1马走日

2.9.2单词接龙

2.9.3分成互质组

2.10DFS之剪枝与优化

2.10.1小猫爬山

2.10.2数独

2.10.3木棒

2.10.4生日蛋糕

2.11 迭代加深

2.11.1加成序列

2.12 双向DFS

2.12.1送礼物

2.13 IDA*

2.13.1排书

2.13.2回转游戏

3.图论

3.1单源最短路的建图方式

3.1.1热浪

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【提示】

3.1.2信使

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

3.2 单源最短路的综合应用

3.3 单源最短路的扩展应用

3.4 floyd算法及其变形

3.5 最小生成树的典型应用

3.6 最小生成树的扩展应用

3.7 SPFA求负环

3.8 差分约束

3.9 最近公共祖先

3.10 有向图的强连通分量

3.11 无向图的双连通分量

3.12 二分图

3.13 欧拉回路和欧拉路径

3.14 拓扑排序

4.高级数据结构

4.1 并查集

4.1.1格子游戏

4.1.2搭配购买

4.1.3程序自动分析

4.1.4奇偶游戏

4.1.5银河英雄传说

4.2 树状数组

4.2.1楼兰图腾

4.2.2一个简单的整数问题

4.2.3一个简单的整数问题2

4.2.4谜一样的牛

4.3线段树

4.3.0动态区间求连续和

4.3.1最大数

4.3.2你能回答这些问题吗

4.3.3区间最大公约数

4.3.4一个简单的整数问题2

4.3.5亚特兰蒂斯

4.3.6维护序列

4.4 可持久化数据结构

4.4.1最大异或和

4.4.2第K小数

4.5 平衡树——Treap

4.5.1普通平衡树

4.5.2营业额统计

4.6 AC自动机

4.6.1搜索关键词

4.6.2单词

5.数学知识

5.1 筛质数

5.2 分解质因数

5.3 快速幂

5.4 约数个数

5.5 欧拉函数

5.6 同余

5.7 矩阵乘法

5.8 组合计数

5.9 高斯消元

5.10 容斥原理

5.11 概率与数学期望

5.12 博弈论

6.基础算法

6.1 位运算

6.1.1 64位整数乘法

6.2 递归

6.2.1费解的开关

6.2.2约数之和

6.2.3分形之城

6.3 前缀和与差分

6.3.1激光炸弹

6.3.2增减序列

6.4 二分

6.4.1最佳牛围栏

6.4.2特殊排序

6.5 排序

6.5.1七夕祭

6.5.2动态中位数

6.5.3超快速排序

6.6 RMQ

6.6.1天才的记忆

---

Level2

1.动态规划——从集合角度考虑DP问题

1.1 数字三角形模型

1.1.1摘花生

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式

第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

1≤T≤100,

1≤R,C≤100,

0≤M≤1000

输入样例：

2

2 2

1 1

3 4

2 3

2 3 4

1 6 5

输出样例：

8

16

思路

#include<iostream>
using namespace std;
 
const int N = 105;
int a[N][N], f[N][N];
int q, row, col;
 
int main()
{
    cin >> q;
    while(q--){
        cin >> row >> col;
        for(int i = 1; i <= row; i++){
            for(int j = 1; j <= col; j++){
                cin >> a[i][j];
            }
        }
 
        // f[i][j]指的是到(i, j)的最大花生数
        for(int i = 1; i <= row; i++){
            for(int j = 1; j <= col; j++){
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]) + a[i][j];
            }
        }
 
        cout << f[row][col] << endl;
    }
 
    return 0;
}

1.1.2最低通行费

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤100

输入样例：

5

1 4 6 8 10

2 5 7 15 17

6 8 9 18 20

10 11 12 19 21

20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

思路

AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100,INF=1e9;
 
int n;
int w[N][N];
int f[N][N];
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cin>>w[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i==1&&j==1) f[i][j]=w[i][j];
            else
            {
                f[i][j]=INF;
                if(i>1) f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j])+w[i][j];//不是第一行才可以从上面过来
                if(j>1) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1])+w[i][j];//不是第一列才可以从左边过来
            }
    cout<<f[n][n];
    return 0;
}

1.1.3方格取数

设有N*N的方格图(N<=10),我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。

某人从图的左上角的A 点(1,1)出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点(N,N)。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式:

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式:

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

8

2 3 13

2 6 6

3 5 7

4 4 14

5 2 21

5 6 4

6 3 15

7 2 14

0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

67

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=15;
 
int n;
int w[N][N];
int f[N*2][N*2][N*2];
 
int main()
{
    cin>>n;
    int a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) w[a][b]=c;
    for(int k=2;k<=n+n;k++)
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
            for(int i2=1;i2<=n;i2++)
            {
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n)
                {
                    int t=w[i1][j1];
                    if(i1!=i2) t+=w[i2][j2];
                    int &x=f[k][i1][i2];
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
                }
            }
    cout<<f[n+n][n][n]<<endl;
    return 0;
}

1.1.4传纸条

1.2 最长上升子序列模型

1.2.1怪盗基德的滑翔翼

【题目描述】

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

【输入】

输入数据第一行是一个整数K(K<100)

，代表有K

组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N(N<100)

，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h(0<h<10000)

，按照建筑的排列顺序给出。

【输出】

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

【输入样例】

3

8

300 207 155 299 298 170 158 65

8

65 158 170 298 299 155 207 300

10

2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

【输出样例】

6

6

9

思路：

双向的最长上升子序列模型

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
 
int a[N],f[N];
int n;
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
 
        //正向求解
        int res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
                if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            res=max(res,f[i]);
        }
 
        //反向求解
        for(int i=n;i>=1;i--)
        {
            f[i]=1;
            for(int j=n;j>i;j--)
                if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            res=max(res,f[i]);
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

1.2.2登山

【题目描述】

五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一个有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

【输入】

第一行：N (2 <= N <= 1000) 景点数;

第二行：N个整数，每个景点的海拔。

【输出】

最多能浏览的景点数。

【输入样例】

8

186 186 150 200 160 130 197 220

【输出样例】

4

题解：最长上升子序列

#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N=1100;
 
int n;
int a[N];
int f[N],g[N];
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
 
    //先预处理
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        g[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--) 
            if(a[i]>a[j]) g[i]=max(g[i],g[j]+1);
    }
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i]+g[i]-1);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

1.2.3合唱队形

【题目描述】

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N−K)位同学出列，使得剩下的KK位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1,2,…,K，他们的身高分别为T1,T2,…,TK，则他们的身高满足T1<T2<…<Ti,Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。

你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

【输入】

输入的第一行是一个整数N（2≤N≤100），表示同学的总数。第二行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti（130≤Ti≤230）是第i位同学的身高（厘米）。

【输出】

输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

【输入样例】

8

186 186 150 200 160 130 197 220

【输出样例】

4

思路：

登山问题的变形。

#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N=1100;
 
int n;
int a[N];
int f[N],g[N];
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
 
    //先预处理
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        g[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--) 
            if(a[i]>a[j]) g[i]=max(g[i],g[j]+1);
    }
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i]+g[i]-1);
    cout<<n-res<<endl;
    return 0;
}

1.2.4好友城市

【题目描述】

Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。

每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

【输入】

第1行，一个整数N(1<=N<=5000)，表示城市数。

第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。(0<=xi<=10000)

【输出】

仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。

【输入样例】

7

22 4

2 6

10 3

15 12

9 8

17 17

4 2

【输出样例】

4

所以左边最大值，就是上升子序列的最大值。

可以将下面的序列进行排序，排序之后有单调性，那么上面的如果出现交叉，那么有一对城市不合法。

#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=5100;
 
int n;
PII q[N];
int f[N];
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>q[i].first>>q[i].second;
    sort(q+1,q+n+1);
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(q[i].second>q[j].second)
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        res=max(res,f[i]);
    }
 
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

1.2.5最大上升子序列和

题目描述：

一个数的序列 bi，当 b1<b2<…<bS的时候，我们称这个序列是上升的。

对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1<i2<…<iK≤N。

比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。

这些子序列中和最大为18，为子序列(1,3,5,9)的和。你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。

注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1,2,3)。

输入格式

输入的第一行是序列的长度N。

第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000(可能重复)。

输出格式

输出一个整数，表示最大上升子序列和。

数据范围

1≤N≤1000

输入样例：

7

1 7 3 5 9 4 8

输出样例：

18

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1100;
int a[N];
int f[N];
int n,ans;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=a[i];//只有a[i]
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+a[i]);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

1.2.6拦截导弹

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。

由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式

第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。

第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

数据范围

雷达给出的高度数据是不大于 30000 的正整数，导弹数不超过1000。

输入样例：

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例：

6

2

思路：

第一问：最长不上升子序列。

第二问：最少用多少个系统才能把导弹拦截住。

g[]数组存的是末尾的数。

我们可以惊奇的发现，这个思路和最长上升子序列II的做法思路相同。

最长上升子序列方案数=最少用多少个非上升子序列可以把整个序列覆盖掉。

时间复杂度O(nlogn)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
 
using namespace std;
 
const int N=1100;
int n;
int q[N];
int f[N],g[N];
 
int main()
{
    while(cin>>q[n]) n++;//只要能读到,就n++
 
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++) 
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(q[j]>=q[i]) 
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        res=max(res,f[i]);
    }
    cout<<res<<endl;
 
    //贪心
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int k=0;
        while(k<cnt&&g[k]<q[i]) k++;
        g[k]=q[i];
        if(k>=cnt) cnt++; 
    }
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

1.2.7导弹防御系统

为了对抗附近恶意国家的威胁，R国更新了他们的导弹防御系统。

一套防御系统的导弹拦截高度要么一直 严格单调 上升要么一直 严格单调 下降。

例如，一套系统先后拦截了高度为 3 和高度为 4 的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 4 的导弹。

给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。

Input

多组测试用例。

对于每个测试用例，第一行包含整数 n ( 1 ≤ n ≤ 50 )，表示来袭导弹数量。

第二行包含 n 个不同的整数，表示每个导弹的高度。

当输入测试用例 n = 0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

Output

每个测试用例输出一行：一个整数，表示所需的防御系统数量。

Sample Input

5

3 5 2 4 1

0

Sample Output

2

方法一：记下来一个全局最小值，不断更新。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=55;

int n;
int q[N];
int up[N],down[N];
int ans;

void dfs(int u,int su,int sd)
{
    if(su+sd>=ans) return ;
    if(u==n)//已经把所有的数放完
    {
        ans=su+sd;
        return ;
    }

    //情况1：将当前数放到上升子序列里面
    int k=0;
    while(k<su&&up[k]>=q[u]) k++;
    int t=up[k];
    up[k]=q[u];
    if(k<su) dfs(u+1,su,sd);
    else dfs(u+1,su+1,sd);
    up[k]=t;

    //情况2：将当前数放到下降子序列里面
    k=0;
    while(k<sd&&down[k]<=q[u]) k++;
    t=down[k];
    down[k]=q[u];
    if(k<sd) dfs(u+1,su,sd);
    else dfs(u+1,su,sd+1);
    down[k]=t;
}

int main()
{
    while(cin>>n,n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
        ans=n;
        dfs(0,0,0);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

1.2.8最长上升公共子序列

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 A和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A和 B的长度均不超过3000。

输入格式

第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。

第二行包含 N个整数，表示数列 A。

第三行包含 N个整数，表示数列 B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

1≤N≤3000,序列中的数字均不超过2^31−1。

输入样例：

4

2 2 1 3

2 1 2 3

输出样例：

2

思路：最长公共子序列+最长上升子序列

未优化的代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=3010;

int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j],1;//右边的情况
            if(a[i]==b[j])//左边的情况
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],1);//左边为空集的情况
                for(int k=1;k<j;k++)
                    if(b[k]<b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+1);
            }
        }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

优化的代码1:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=3010;

int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int maxv=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j],1;//右边的情况
            if(a[i]==b[j])//左边的情况
                f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
            if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i][j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

优化2(更容易理解）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=3010;

int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
int g[N][N];//g[i][j]表示满足a[i]>b[j]的所有f[i][j]+1的最大值
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        g[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j],1;//右边的情况
            if(a[i]==b[j])//左边的情况
                f[i][j]=max(f[i][j],g[i][j-1]);
            g[i][j]=g[i][j-1];
            if(b[j]<a[i]) g[i][j]=max(g[i][j],f[i][j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

1.3 背包模型

1.3.1采药

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。

为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

输入文件的第一行有两个整数 T和 M，用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。

接下来的 M行每行包括两个在 1到100 之间（包括 1和 100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围

1≤T≤1000,

1≤M≤100

输入样例：

70 3

71 100

69 1

1 2

输出样例：

3

思路：01背包模型

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1100;

int v[N],w[N];
int f[N][N];

int m,n;

int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

1.3.2装箱问题

有一个箱子容量为 V，同时有 n个物品，每个物品有一个体积。

现在从 n个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 V，表示箱子容量。

第二行共一个整数 n，表示物品总数。

接下来 n行，每行有一个正整数，表示第 i个物品的体积。

输出格式

共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

输入输出样例

输入

24

6

8

3

12

7

9

7

输出

0

说明

对于100% 数据，满足 0<n<=30,1<=v<=20000

01背包的变形问题，把价值换成了体积。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=1e5+10;

int f[N];
int v,n,w;

int main()
{
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w;
        for(int j=v;j>=w;j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-w]+w);
    }
    cout<<v-f[v];
    return 0;
}

1.3.3宠物小精灵之收服

【题目描述】

宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。

一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。小智也想收服其中的一些小精灵。然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。当皮卡丘的体力小于等于0时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服。当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。

我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。

小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。

现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？

【输入】

输入数据的第一行包含三个整数：N(0<N<1000)，M(0<M<500)，K(0<K<100)，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。

之后的K行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。

【输出】

输出为一行，包含两个整数：C，R，分别表示最多收服C个小精灵，以及收服C个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为R。

【输入样例】

10 100 5

7 10

2 40

2 50

1 20

4 20

【输出样例】

3 30

【提示】

样例输入2：

10 100 5

8 110

12 10

20 10

5 200

1 110

样例输出2：

0 100

提示:

对于样例输入1：小智选择：(7,10) (2,40) (1,20) 这样小智一共收服了3个小精灵，皮卡丘受到了70点伤害，剩余100-70=30点体力。所以输出3 30。

对于样例输入2：小智一个小精灵都没法收服，皮卡丘也不会收到任何伤害，所以输出0 100。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=1100;

int n,m,k,x,y;
int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        for(int j=n;j>=x;j--)
            for(int t=m-1;t>=y;t--)
                f[j][t]=max(f[j][t],f[j-x][t-y]+1);
    }
    cout<<f[n][m-1]<<" ";
    int z=m-1;
    while(z>0&&f[n][z-1]==f[n][m-1]) z--;
    cout<<m-z;
    return 0;
}

1.3.4数字组合

给定 N个正整数 A1,A2,…,AN，从中选出若干个数，使它们的和为 M，求有多少种选择方案。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

第二行包含 N个整数，表示 A1,A2,…,AN。

输出格式

包含一个整数，表示可选方案数。

数据范围

1≤N≤100,

1≤M≤10000,

1≤Ai≤1000,

答案保证在 int 范围内。

输入样例：

4 4

1 1 2 2

输出样例：

3

思路：01背包求方案数。

二维代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 11000;

int n,m,w[N];

int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    f[0][0]=1;//如果是数字0，一个不选也是一种方案数
    //初始化 f[0][0]=1 ,而f[0][1],f[0][2],,,,,f[0][m]=0
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)//m要从0开始，因为f[i][0]也是一种方案数
        {
            f[i][j]+=f[i-1][j];
            if(j>=w[i]) f[i][j]+=f[i-1][j-w[i]];
        }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

优化为一维

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v;
        cin >> v;
        for (int j = m; j >= v; j -- ) f[j] += f[j - v];
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

1.3.5买书

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。

问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）

【输入】

一个整数 n，代表总共钱数。（0≤n≤1000）

【输出】

一个整数，代表选择方案种数。

【输入样例】

20

【输出样例】

2

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1010;

int v[5]={0,10,20,50,100};
int f[5][N];

int main()
{
    int m;
    cin>>m;

    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]+=f[i][j-v[i]];
        }
    }
    cout<<f[4][m]<<endl;
    return 0;
}

一维优化

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1010;

int v[5]={0,10,20,50,100};
int f[N];

int main()
{
    int m;
    cin>>m;

    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            if(j>=v[i]) f[j]+=f[j-v[i]];
            /*f[i][j]=f[i][j-v[i]]完全背包，因为f[i][j-v[i]]是和f[i][j]
            同一层被更新的，所以不用从大到小枚举体积*/

            /*f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]01背包要从大到小枚举体积的原因
            是f[i-1][j-v[i]]是上一层循环的，也就是说，在算f[i][j]的
            时候,f[i-1][j-v[i]]其实已经被更新过来，但是如果我们用更新
            过的来算，是错误的，所以我们要把f[i-1][j-v[i]]在f[i][j]
            之后被更新，就要从大到小枚举体积*/
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

1.3.6货币系统

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

给你一个n种面值的货币系统，求组成面值为m的货币有多少种方案。

【输入】

第一行为n和m。

【输出】

一行，方案数。

【输入样例】

3 10 //3种面值组成面值为10的方案

1 //面值1

2 //面值2

5 //面值5

【输出样例】

10 //有10种方案

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3100;
int n,m;
ll f[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;
        cin>>a;
        for(int j=0;j<=m;j++) 
            if(j>=a) f[j]+=f[j-a];
    }
    cout<<f[m];
} 

1.3.7货币系统

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=33100;
int a[N];
int f[N];
int n;
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
        sort(a,a+n);
        int m=a[n-1];
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0]=1;
        int res=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!f[a[i]]) res++;
            for(int j=a[i];j<=m;j++)
                f[j]+=f[j-a[i]];
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

1.3.8多重背包问题III

6. 多重背包问题 III - AcWing题库

有 N种物品和一个容量是 V的背包。

第 i种物品最多有 si件，每件体积是vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,N，V (0<N≤1000, 0<V≤20000)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行三个整数vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000

0<V≤20000

0<vi,wi,si≤20000

提示

本题考查多重背包的单调队列优化方法。

输入样例

4 5

1 2 3

2 4 1

3 4 3

4 5 2

输出样例：

10

1.3.9庆功会

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

【输入】

第一行二个数n(n≤500)n(n≤500)，m(m≤6000)m(m≤6000)，其中nn代表希望购买的奖品的种数，mm表示拨款金额。

接下来nn行，每行33个数，vv、ww、ss，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和能购买的最大数量（买00件到ss件均可），其中v≤100v≤100，w≤1000w≤1000，s≤10s≤10。

【输出】

一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

【输入样例】

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

【输出样例】

1040

经典的多重背包问题，把数据开大一些

二维

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];//一个也不选的状态
            for(int k=1;k<=s[i];k++)
                if(j>=k*v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
        }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

一维

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 11000;

int n,m,v,w,s;

int f[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v>>w>>s;
        for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int k=0;k<=s&&k*v<=j;k++)
                f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

1.3.10混合背包问题

7. 混合背包问题 - AcWing题库

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；

第二类物品可以用无限次（完全背包）；

第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；

每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；

si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；

si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

−1≤si≤1000

输入样例

4 5

1 2 -1

2 4 1

3 4 0

4 5 2

输出样例：

8

1.3.11二维费用的背包问题

1.3.12潜水员

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统

【题目描述】

潜水员为了潜水要使用特殊的装备。他有一个带2种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。让潜水员下潜的深度需要各种的数量的氧和氮。潜水员有一定数量的气缸。每个气缸都有重量和气体容量。潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？

例如：潜水员有5个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：

3 36 120

10 25 129

5 50 250

1 45 130

4 20 119

如果潜水员需要5升的氧和60升的氮则总重最小为249（1，2或者4，5号气缸）。

你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

【输入】

第一行有2整数m，n（1≤m≤21，1≤n≤79）。它们表示氧，氮各自需要的量。

第二行为整数k（1≤k≤1000）表示气缸的个数。

此后的k行，每行包括ai，bi，ci（1≤ai≤21，1≤bi≤79，1≤ci≤800）3ai，bi，ci（1≤ai≤21，1≤bi≤79，1≤ci≤800）3整数。这些各自是：第i个气缸里的氧和氮的容量及汽缸重量。

【输出】

仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

【输入样例】

5 60

5

3 36 120

10 25 129

5 50 250

1 45 130

4 20 119

【输出样例】

249

二维背包费用问题变形

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N=100;

int n,m,k;
int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    while(k--)
    {
        int v1,v2,w;
        cin>>v1>>v2>>w;
        for(int j=n;j>=0;j--)
            for(int k=m;k>=0;k--)
                f[j][k]=min(f[j][k],f[max(0,j-v1)][max(0,k-v2)]+w);
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

1.3.13机器分配

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

总公司拥有高效设备M台，准备分给下属的N个分公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数M。

【输入】

第一行有两个数，第一个数是分公司数N，第二个数是设备台数M；

接下来是一个N*M的矩阵，表明了第 I个公司分配 J台机器的盈利。

【输出】

第一行输出最大盈利值；

接下N行，每行有2个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。

【输入样例】

3 3 //3个分公司分3台机器

30 40 50

20 30 50

20 25 30

【输出样例】

70 //最大盈利值为70

1 1 //第一分公司分1台

2 1 //第二分公司分1台

3 1 //第三分公司分1台

思路：分组背包模型求具体方案

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=500;

int n,m;
int f[N][N];
int w[N][N];
int way[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>w[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=j;k++)
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k]+w[i][k]);
    cout<<f[n][m]<<endl;

    //求具体方案
    int j=m;
    for(int i=n;i>=1;i--)
        for(int k=0;k<=j;k++)
            if(f[i][j]==f[i-1][j-k]+w[i][k])
            {
                way[i]=k;
                j-=k;
                break;
            }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<way[i]<<endl;
    return 0;
}

1.3.14开心的金明

426. 开心的金明 - AcWing题库

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 30010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        w *= v;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

1.3.15有依赖的背包问题

10. 有依赖的背包问题 - AcWing题库

1.3.16背包问题求方案数

1.3.17背包问题求具体方案

12. 背包问题求具体方案 - AcWing题库

有 N件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是1…N。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是1…N。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5

1 2

2 4

3 4

4 6

输出样例：

1 4

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=1010;

int n,m;
int f[N][N];
int v[N],w[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=n;i>=1;i--)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i+1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);
        }
        
    int j=m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(j>=v[i]&&f[i][j]==f[i+1][j-v[i]]+w[i])//如果后一个是从前一个转移过来的话，我们一定选
        {
            cout<<i<<" ";
            j-=v[i];
        }
    return 0;
}

1.3.18能量石

1.3.19金明的预算方案

487. 金明的预算方案 - AcWing题库

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。

今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。

每个主件可以有0个、1个或2个附件。

附件不再有从属于自己的附件。

金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。

于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。

他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。

他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，…，jk，则所求的总和为：

v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w[j2]+…+v[jk]∗w[jk]（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

输入文件的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m，其中N表示总钱数，m为希望购买物品的个数。

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数v p q，其中v表示该物品的价格，p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。

如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号。

输出格式

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

数据范围

N<32000,m<60,v<10000

输入样例：

1000 5

800 2 0

400 5 1

300 5 1

400 3 0

500 2 0

输出样例：

2200

思路：分组背包问题。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

#define v first
#define w second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 60, M = 32010;

int n, m;
PII master[N];
vector<PII> servent[N];
int f[M];

int main()
{
    cin >> m >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, p, q;
        cin >> v >> p >> q;
        p *= v;
        if (!q) master[i] = {v, p};
        else servent[q].push_back({v, p});
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int u = m; u >= 0; u -- )
        {
            for (int j = 0; j < 1 << servent[i].size(); j ++ )//每一个二进制都代表一种选法
            {
                int v = master[i].v, w = master[i].w;
                for (int k = 0; k < servent[i].size(); k ++ )
                    if (j >> k & 1)
                    {
                        v += servent[i][k].v;
                        w += servent[i][k].w;
                    }
                if (u >= v) f[u] = max(f[u], f[u - v] + w);
            }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

1.4 状态机模型

1.4.1大盗阿福

1.4.2股票买卖IV

1.4.3股票买卖V

1.4.4设计密码

1.4.5修复DNA

1.5 状态压缩DP

1.5.1小国王

1.5.2玉米田

1.5.3炮兵阵地

1.5.4愤怒的小鸟

1.5.5宝藏

1.6 区间DP

1.6.1环形石子合并

1.6.2能量项链

1.6.3加分二叉树

1.6.4凸多边形的划分

1.6.5棋盘分割

1.7 树形DP

1.7.1树的最长路径

1.7.2树的中心

1.7.3数字转换

1.7.4二叉苹果树

1.7.5战略游戏

1.7.6皇宫看守

1.8 数位DP

1.8.1度的数量

1.8.2数字游戏

1.8.3Windy数

1.8.4数字游戏II

1.8.5不要62

1.8.6恨7不成妻

1.9 单调队列优化的DP问题

1.9.1最大子序和

1.9.2修剪草坪

1.9.3旅行问题

1.9.4烽火传递

1.9.5绿色通道

1.9.6理想的正方形

1.10 斜率优化的DP问题

1.10.1任务安排1

1.10.2任务安排2

1.10.3任务安排3

1.10.4运输小猫

2.搜索

BFS

2.1 Flood Fill

2.1.1池塘计数

题目描述：

农夫约翰有一片 N∗M 的矩形土地。

最近，由于降雨的原因，部分土地被水淹没了。

现在用一个字符矩阵来表示他的土地。

每个单元格内，如果包含雨水，则用”W”表示，如果不含雨水，则用”.”表示。

现在，约翰想知道他的土地中形成了多少片池塘。

每组相连的积水单元格集合可以看作是一片池塘。

每个单元格视为与其上、下、左、右、左上、右上、左下、右下八个邻近单元格相连。

请你输出共有多少片池塘，即矩阵中共有多少片相连的”W”块。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

接下来 N 行，每行包含 M 个字符，字符为”W”或”.”，用以表示矩形土地的积水状况，字符之间没有空格。

输出格式

输出一个整数，表示池塘数目。

数据范围

1≤N,M≤1000

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define x first
#define y second
using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;

const int N=1100;
 
 int n,m;
 char g[N][N];
 PII q[N*N];
 bool st[N][N];

void bfs(int sx,int sy)
{
    int hh=0,tt=-1;
    q[++tt]={sx,sy};
    st[sx][sy]=true;
    while(hh<=tt)
    {
        PII t=q[hh++];

        for(int i=t.x-1;i<=t.x+1;i++)
            for(int j=t.y-1;j<=t.y+1;j++)
            {
                if(i==t.x&&j==t.y) continue;
                if(i<0||i>=n||j<0||j>=m) continue;
                if(g[i][j]=='.'||st[i][j]) continue;;

                q[++tt]={i,j};
                st[i][j]=true;
            }
    }
}

 int main()
 {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%s",&g[i]);
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(g[i][j]=='W'&&!st[i][j])
            {
                bfs(i,j);
                cnt++;
            }
    printf("%d\n",cnt);
    return 0;
 }

2.1.2城堡问题

图1是一个城堡的地形图。请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。城堡被分割成m*n(m≤50，n≤50)个方块，每个方块可以有0~4面墙。

输入

程序从标准输入设备读入数据。第一行是两个整数，分别是南北向、东西向的方块数。在接下来的输入行里，每个方块用一个数字(0≤p≤50)描述。用一个数字表示方块周围的墙，1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙。每个方块用代表其周围墙的数字之和表示。城堡的内墙被计算两次，方块(1,1)的南墙同时也是方块(2,1)的北墙。输入的数据保证城堡至少有两个房间。

输出

城堡的房间数、城堡中最大房间所包括的方块数。结果显示在标准输出设备上。

样例输入

4

7

11 6 11 6 3 10 6

7 9 6 13 5 15 5

1 10 12 7 13 7 5

13 11 10 8 10 12 13

样例输出

5

9

分析：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;
const int N = 55;

int n , m ;    
int g[N][N];
bool st[N][N];

int bfs(int x , int y){
    queue<PII> q;
    q.push({ x , y });
    st[x][y] = true;
    int area = 0;
    
    int dx[] = {0,-1,0,1} , dy[] = {-1,0,1,0};
    while ( !q.empty() )
    {
        PII t = q.front();
        q.pop();
        area ++;
        
        for(int i = 0 ; i <= 3 ; i ++)
        {
            if( g[t.first][t.second] >> i & 1 ) continue; 
            int a = t.first + dx[i] , b = t.second + dy[i];
            if( a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m ) continue;
            if( st[a][b] == true ) continue;
            q.push({a,b});
            st[a][b] = true;
        }
     } 
     
     return area;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++ )
        for(int j = 0 ; j < m ; j ++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    
    int cnt = 0 , area = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
    {
        for(int j = 0 ; j < m ; j ++)
        {
            if( !st[i][j] )
            {
                cnt ++ ;
                area = max( bfs( i , j ) , area);
            }
        }
     } 
     
     cout << cnt << endl << area << endl;
    return 0;
}

2.1.3山谷和山峰

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

题目描述：

FGD小朋友特别喜欢爬山，在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。

为了能够对旅程有一个安排，他想知道山峰和山谷的数量。

给定一个地图，为FGD想要旅行的区域，地图被分为 n×n 的网格，每个格子 (i,j) 的高度 w(i,j) 是给定的。

若两个格子有公共顶点，那么它们就是相邻的格子，如与 (i,j) 相邻的格子有(i−1,j−1),(i−1,j),(i−1,j+1),(i,j−1),(i,j+1),(i+1,j−1),(i+1,j),(i+1,j+1)

我们定义一个格子的集合 S 为山峰（山谷）当且仅当：

S 的所有格子都有相同的高度。

S 的所有格子都连通。

对于 s 属于 S，与 s 相邻的 s′ 不属于 S，都有 ws>ws′（山峰），或者 ws<ws′（山谷）。

如果周围不存在相邻区域，则同时将其视为山峰和山谷。

你的任务是，对于给定的地图，求出山峰和山谷的数量，如果所有格子都有相同的高度，那么整个地图即是山峰，又是山谷。

输入格式

第一行包含一个正整数 n，表示地图的大小。

接下来一个 n×n 的矩阵，表示地图上每个格子的高度 w。

输出格式

共一行，包含两个整数，表示山峰和山谷的数量。

数据范围

1≤n≤1000,

0≤w≤10^9

输入样例：

5

8 8 8 7 7

7 7 8 8 7

7 7 7 7 7

7 8 8 7 8

7 8 8 8 8

输出样例1：

2 1

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define x first 
#define y second 
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=1010,M=N*N;

int n;
bool st[N][N];
int g[N][N];
PII q[M];

void bfs(int sx,int sy,bool &has_higher,bool &has_lower)
{
    int hh=0,tt=-1;
    q[++tt]={sx,sy};
    st[sx][sy]=true;

    while(hh<=tt)
    {
        PII t=q[hh++];

        for(int i=t.x-1;i<=t.x+1;i++)
            for(int j=t.y-1;j<=t.y+1;j++)
            {
                if(i==t.x&&j==t.y) continue;
                if(i<0||i>=n||j<0||j>=n) continue;
                if(g[i][j]!=g[t.x][t.y])
                {
                    if(g[i][j]>g[t.x][t.y]) has_higher=true;
                    else has_lower=true;
                }
                else if(!st[i][j])
                {
                    q[++tt]={i,j};
                    st[i][j]=true;
                }
            }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    int peak=0,valley=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        if(!st[i][j])
        {
            bool has_higher=false,has_lower=false;
            bfs(i,j,has_higher,has_lower);
            if(!has_higher) peak++;
            if(!has_lower) valley++;
        }
    printf("%d %d",peak,valley);
    return 0;
}

2.2 最短路模型

2.2.1迷宫问题

给定一个 n×m 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0或 1，其中 0表示可以走的路，1表示不可通过的墙壁。

最初，有一个人位于左上角 (1,1) 处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。

请问，该人从左上角移动至右下角 (n,m)处，至少需要移动多少次。

数据保证 (1,1) 处和 (n,m) 处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。

输入格式

第一行包含两个整数 n和 m。

接下来 n行，每行包含 m个整数（0或 1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式

输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围

1≤n,m≤100

输入样例：

5 5

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 0 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1 0

输出样例：

8

bfs:一层一层地向外进行扩展，直到搜到终点位置，本质是队列，最先搜到的位置一定是最短路径，所以bfs有最短路径。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=110;
typedef pair<int,int> PII;
int d[N][N];
int g[N][N];
bool st[N][N];
int n,m;
PII q[N*N];
PII Pre[N][N];
int bfs()
{
    int hh=0,tt=-1;
    q[++tt]={1,1};//把起始位置放进来
    st[1][1]=true;//对起始位置进行标记
    d[1][1]=0;
    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};//记下偏移量
    while(hh<=tt)
    {
        auto t=q[hh++];
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            int x=t.first+dx[i],y=t.second+dy[i];
            if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m&&g[x][y]==0&&!st[x][y])//该点符合待更新的点
            {
                d[x][y]=d[t.first][t.second]+1;//路径从上一个路径更新过来
                Pre[x][y]=t;
                q[++tt]={x,y};//入队
                st[x][y]=true;//标记
            }
        }
    }
    /*输出路径
    int x=n,y=m;
    while(x||y)
    {
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
        auto t=Pre[x][y];
        x=t.first,y=t.second;
    }
    */
    return d[n][m];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>g[i][j];
    printf("%d\n",bfs());
    return 0;
}

2.2.2武士风度的牛

188. 武士风度的牛 - AcWing题库

农民John有很多牛，他想交易其中一头被Don称为The Knight的牛。

这头牛有一个独一无二的超能力，在农场里像Knight一样地跳（就是我们熟悉的象棋中马的走法）。

虽然这头神奇的牛不能跳到树上和石头上，但是它可以在牧场上随意跳，我们把牧场用一个x，y的坐标图来表示。

这头神奇的牛像其它牛一样喜欢吃草，给你一张地图，上面标注了The Knight的开始位置，树、灌木、石头以及其它障碍的位置，除此之外还有一捆草。

现在你的任务是，确定The Knight要想吃到草，至少需要跳多少次。

The Knight的位置用’K’来标记，障碍的位置用’*’来标记，草的位置用’H’来标记。

这里有一个地图的例子：

The Knight 可以按照下图中的A,B,C,D…这条路径用5次跳到草的地方（有可能其它路线的长度也是5）：

注意： 数据保证一定有解。

输入格式：

第1行： 两个数，表示农场的列数C(C<=150)和行数R(R<=150)。

第2…R+1行: 每行一个由C个字符组成的字符串，共同描绘出牧场地图。

输出格式：

一个整数，表示跳跃的最小次数。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 200;

char g[N][N];
PII q[N*N];
int d[N][N];
int n,m;

int bfs()
{
    int sx,sy;
    
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(g[i][j]=='K') sx=i,sy=j;
    
    int dx[]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2},dy[]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
    
    int hh=0,tt=-1;
    q[++tt]={sx,sy};
    
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[sx][sy]=0;
    
    while(hh<=tt)
    {
        PII t=q[hh++];
        for(int i=0;i<8;i++)
        {
            int x=t.first+dx[i],y=t.second+dy[i];
            if(x<0||x>=n||y<0||y>=m||g[x][y]=='*'||d[x][y]!=-1) continue;
            if(g[x][y]=='H') return d[t.first][t.second]+1;
            q[++tt]={x,y};
            d[x][y]=d[t.first][t.second]+1;
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) 
        for(int j=0;j<m;j++)
            cin>>g[i][j];
    cout<<bfs()<<endl;
    return 0;
}

2.2.3抓住那头牛

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

农夫知道一头牛的位置，想要抓住它。农夫和牛都位于数轴上，农夫起始位于点N(0≤N≤100000)，牛位于点K(0≤K≤100000)。农夫有两种移动方式：

1、从X移动到X−1或X+1，每次移动花费一分钟

2、从X移动到2×X，每次移动花费一分钟

假设牛没有意识到农夫的行动，站在原地不动。农夫最少要花多少时间才能抓住牛？

【输入】

两个整数，N和K。

【输出】

一个整数，农夫抓到牛所要花费的最小分钟数。

【输入样例】

5 17

【输出样例】

4

最短路径的一维扩展

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int sx,k;

int dx[4]={-1,1};
int q[N];
int d[N];

int bfs()
{
    int hh=0,tt=-1;
    q[++tt]=sx;
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[sx]=0;
    while(hh<=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        dx[2]=t;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            int x=t+dx[i];
            if(x>=0&&x<=N&&d[x]==-1)
            {
                if(x==k) return d[t]+1;
                q[++tt]=x;
                d[x]=d[t]+1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    cin>>sx>>k;
    cout<<bfs();
    return 0;
}

2.3 多源BFS

2.3.1矩阵距离

173. 矩阵距离 - AcWing题库

输入格式

第一行两个整数 N,M。

接下来一个 N 行 M 列的 01 矩阵，数字之间没有空格。

输出格式

一个 N 行 M 列的矩阵 B，相邻两个整数之间用一个空格隔开。

数据范围

1≤N,M≤1000

输入样例：

3 4

0001

0011

0110

输出样例：

3 2 1 0

2 1 0 0

1 0 0 1

题意

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>

#define x first 
#define y second

using namespace std;

const int N=1010,M=N*N;

typedef pair<int,int> PII;

int n,m;

char g[N][N];
PII q[M];
int dist[N][N];

void bfs()
{
    int hh=0,tt=-1;
    
    memset(dist,-1,sizeof dist);

    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        if(g[i][j]=='1')
        {
            dist[i][j]=0;
            q[++tt]={i,j};
        }

    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
    while (hh<=tt)
    {
        PII t=q[hh++];
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            int l=t.x+dx[i],r=t.y+dy[i];
            if(l>=0&&l<n&&r>=0&&r<m&&dist[l][r]==-1)
            {
                dist[l][r]=dist[t.x][t.y]+1;
                q[++tt]={l,r};
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%s",&g[i]);
    bfs();
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            printf("%d ",dist[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

2.4 最小步数模型

2.4.1魔板

1107. 魔板 - AcWing题库

Rubik 先生在发明了风靡全球的魔方之后，又发明了它的二维版本——魔板。

这是一张有 8 个大小相同的格子的魔板：

1 2 3 4

8 7 6 5

我们知道魔板的每一个方格都有一种颜色。

这 8 种颜色用前 8 个正整数来表示。

可以用颜色的序列来表示一种魔板状态，规定从魔板的左上角开始，沿顺时针方向依次取出整数，构成一个颜色序列。

对于上图的魔板状态，我们用序列 (1,2,3,4,5,6,7,8) 来表示，这是基本状态。

这里提供三种基本操作，分别用大写字母 A，B，C 来表示（可以通过这些操作改变魔板的状态）：

A：交换上下两行；

B：将最右边的一列插入到最左边；

C：魔板中央对的4个数作顺时针旋转。

下面是对基本状态进行操作的示范：

A：

8 7 6 5

1 2 3 4

B：

4 1 2 3

5 8 7 6

C：

1 7 2 4

8 6 3 5

对于每种可能的状态，这三种基本操作都可以使用。

你要编程计算用最少的基本操作完成基本状态到特殊状态的转换，输出基本操作序列。

注意：数据保证一定有解。

输入格式

输入仅一行，包括 8 个整数，用空格分开，表示目标状态。

输出格式

输出文件的第一行包括一个整数，表示最短操作序列的长度。

如果操作序列的长度大于0，则在第二行输出字典序最小的操作序列。

数据范围

输入数据中的所有数字均为 1 到 8 之间的整数。

输入样例：

2 6 8 4 5 7 3 1

输出样例：

7

BCABCCB

变成目标状态最少需要多少操作？

把初状态用队列存储,然后进行bfs搜索每个状态，用哈希表存储每个状态

先把每一个状态进行存储，用哈希表。

按照最小字典序顺序去搜索，能够搜到最小字典序的顺序。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char a[10], b[10];
map<string, int> dist;
map<string, pair<char, string> > pre;

string get(string t, int op) 
{
    string k;
    if (op == 0) k = {t[4], t[5], t[6], t[7], t[0], t[1], t[2], t[3]};
    if (op == 1) k = {t[3], t[0], t[1], t[2], t[7], t[4], t[5], t[6]};
    if (op == 2) k = {t[0], t[5], t[1], t[3], t[4], t[6], t[2], t[7]};  
    return k;
}

string eend;

int bfs() 
{  //bfs跟y总的差不多
    string s = "12348765";
    queue<string> q;
    dist[s] = 0;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) 
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        if (t == eend) return dist[t];
        for (int i = 0; i < 3; i++) 
        {
            string s = get(t, i);  //只是求变化之后的数独简单了很多
            if (!dist.count(s)) 
            {
                dist[s] = dist[t] + 1;
                pre[s] = {'A' + i, t};
                q.push(s);
            }
        }
    }
}

int main() {
    string start = "12348765", end, res;
    for (int i = 1; i <= 8; i++) cin >> a[i];

    reverse(a + 5, a + 8 + 1);
    for (int i = 1; i <= 8; i++) eend.push_back(a[i]);
    cout << bfs() << endl;
    while (eend != start) {
        res += pre[eend].first;
        eend = pre[eend].second;
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    cout << res;
}

2.5 双端队列广搜

2.5.6电路维修

175. 电路维修 - AcWing题库

达达是来自异世界的魔女，她在漫无目的地四处漂流的时候，遇到了善良的少女翰翰，从而被收留在地球上。

翰翰的家里有一辆飞行车。

有一天飞行车的电路板突然出现了故障，导致无法启动。

电路板的整体结构是一个 R 行 C 列的网格（R,C≤500），如下图所示。

每个格点都是电线的接点，每个格子都包含一个电子元件。

电子元件的主要部分是一个可旋转的、连接一条对角线上的两个接点的短电缆。

在旋转之后，它就可以连接另一条对角线的两个接点。

电路板左上角的接点接入直流电源，右下角的接点接入飞行车的发动装置。

达达发现因为某些元件的方向不小心发生了改变，电路板可能处于断路的状态。

她准备通过计算，旋转最少数量的元件，使电源与发动装置通过若干条短缆相连。

不过，电路的规模实在是太大了，达达并不擅长编程，希望你能够帮她解决这个问题。

注意：只能走斜向的线段，水平和竖直线段不能走。

输入格式

输入文件包含多组测试数据。

第一行包含一个整数 T，表示测试数据的数目。

对于每组测试数据，第一行包含正整数 R 和 C，表示电路板的行数和列数。

之后 R 行，每行 C 个字符，字符是"/"和"\"中的一个，表示标准件的方向。

输出格式

对于每组测试数据，在单独的一行输出一个正整数，表示所需的最小旋转次数。

如果无论怎样都不能使得电源和发动机之间连通，输出 NO SOLUTION。

数据范围

1≤R,C≤500,

1≤T≤5

输入样例：

1

3 5

\\/\\

\\///

/\\\\

输出样例：

1

样例解释

样例的输入对应于题目描述中的情况。

只需要按照下面的方式旋转标准件，就可以使得电源和发动机之间连通。

点的偏移量

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <deque>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 510;

int n, m;
char g[N][N];
int d[N][N];
bool st[N][N];

int bfs()
{
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(d, 0x3f, sizeof d);

    deque<PII> q;
    q.push_back({0, 0});
    d[0][0] = 0;

    int dx[4] = {-1, -1, 1, 1}, dy[4] = {-1, 1, 1, -1};
    int ix[4] = {-1, -1, 0, 0}, iy[4] = {-1, 0, 0, -1};//斜杠的偏移量
    char cs[] = "\\/\\/";//四个方向的斜杠，需要转译

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop_front();

        int x = t.first, y = t.second;
        if (st[x][y]) continue;
        st[x][y] = true;

        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            int j = x + ix[i], k = y + iy[i];
            if (a >= 0 && a <= n && b >= 0 && b <= m)
            {
                int w = 0;
                if (g[j][k] != cs[i]) w = 1;
                if (d[a][b] > d[x][y] + w)
                {
                    d[a][b] = d[x][y] + w;
                    if (w) q.push_back({a, b});
                    else q.push_front({a, b});
                }
            }
        }
    }

    if (d[n][m] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return d[n][m];
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- )
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%s", g[i]);

        int t = bfs();

        if (t == -1) puts("NO SOLUTION");
        else printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}

2.6 双向广搜

2.6.1字串变换

190. 字串变换 - AcWing题库

已知有两个字串 A, B 及一组字串变换的规则（至多 6 个规则）:

A1→B1

A2→B2

…

规则的含义为：在 A 中的子串 A1 可以变换为 B1、A2 可以变换为 B2…。

例如：A＝abcd B＝xyz

变换规则为：

abc → xu ud →y y →yz

则此时，A 可以经过一系列的变换变为 B，其变换的过程为：

abcd →xud →xy →xyz

共进行了三次变换，使得 A 变换为 B。

输入格式

输入格式如下：

A B

A1 B1

A2 B2

… …

第一行是两个给定的字符串 A 和 B。

接下来若干行，每行描述一组字串变换的规则。

所有字符串长度的上限为 20。

输出格式

若在 10 步（包含 10 步）以内能将 A 变换为 B ，则输出最少的变换步数；否则输出 NO ANSWER!。

输入样例：

abcd xyz

abc xu

ud y

y yz

输出样例：

3

双向bfs每次都要扩展一层。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 6;

int n;
string A, B;
string a[N], b[N];

int extend(queue<string>& q, unordered_map<string, int>&da, unordered_map<string, int>& db, 
    string a[N], string b[N])
{
    int d = da[q.front()];
    while (q.size() && da[q.front()] == d)
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < t.size(); j ++ )
                if (t.substr(j, a[i].size()) == a[i])
                {
                    string r = t.substr(0, j) + b[i] + t.substr(j + a[i].size());
                    if (db.count(r)) return da[t] + db[r] + 1;
                    if (da.count(r)) continue;
                    da[r] = da[t] + 1;
                    q.push(r);
                }
    }

    return 11;
}

int bfs()
{
    if (A == B) return 0;
    queue<string> qa, qb;
    unordered_map<string, int> da, db;

    qa.push(A), qb.push(B);
    da[A] = db[B] = 0;

    int step = 0;
    while (qa.size() && qb.size())
    {
        int t;
        if (qa.size() < qb.size()) t = extend(qa, da, db, a, b);
        else t = extend(qb, db, da, b, a);

        if (t <= 10) return t;
        if ( ++ step == 10) return -1;
    }

    return -1;
}

int main()
{
    cin >> A >> B;
    while (cin >> a[n] >> b[n]) n ++ ;

    int t = bfs();
    if (t == -1) puts("NO ANSWER!");
    else cout << t << endl;

    return 0;
}

2.7 A*

A*算法可以降低搜索空间。

2.7.1第K短路

178. 第K短路 - AcWing题库

给定一张 N个点（编号 1,2…N），M 条边的有向图，求从起点 S 到终点 T 的第 K 短路的长度，路径允许重复经过点或边。

注意： 每条最短路中至少要包含一条边。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

接下来 M行，每行包含三个整数 A,B 和 L，表示点 A 与点 B 之间存在有向边，且边长为 L。

最后一行包含三个整数S,T 和 K，分别表示起点 S，终点 T 和第 K 短路。

输出格式

输出占一行，包含一个整数，表示第 K 短路的长度，如果第 K 短路不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤S,T≤N≤1000,

0≤M≤104,

1≤K≤1000,

1≤L≤100

输入样例：

2 2

1 2 5

2 1 4

1 2 2

输出样例：

14

2.7.2八数码

179. 八数码 - AcWing题库

在一个 3×3的网格中，1∼8 这 8 个数字和一个 X 恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。

例如：

1 2 3

X 4 6

7 5 8

在游戏过程中，可以把 X 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3

4 5 6

7 8 X

例如，示例中图形就可以通过让 X 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

X 4 6 4 X 6 4 5 6 4 5 6

7 5 8 7 5 8 7 X 8 7 8 X

把 X 与上下左右方向数字交换的行动记录为 u、d、l、r。

现在，给你一个初始网格，请你通过最少的移动次数，得到正确排列。

输入格式

输入占一行，将 3×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3

x 4 6

7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个字符串，表示得到正确排列的完整行动记录。

如果答案不唯一，输出任意一种合法方案即可。

如果不存在解决方案，则输出 unsolvable。

输入样例：

2 3 4 1 5 x 7 6 8

输出样例

ullddrurdllurdruldr

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <queue>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, string> PIS;

int f(string state)//当前位置和最终位置的曼哈顿距离
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 9; i ++ )
        if (state[i] != 'x')
        {
            int v = state[i] - '1';
            res += abs(v / 3 - i / 3) + abs(v % 3 - i % 3);
        }

    return res;
}

string bfs(string start)
{
    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
    char op[5] = "urdl";

    string end = "12345678x";
    unordered_map<string, int> dist;
    unordered_map<string, pair<char, string>> pre;
    priority_queue<PIS, vector<PIS>, greater<PIS>> heap;

    heap.push({f(start), start});
    dist[start] = 0;

    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        string state = t.y;
        if (state == end) break;

        int x, y;
        for (int i = 0; i < 9; i ++ )
            if (state[i] == 'x')
            {
                x = i / 3, y = i % 3;
                break;
            }

        string source = state;
        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a < 0 || a >= 3 || b < 0 || b >= 3) continue;
            state = source;
            swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);
            if (dist.count(state) == 0 || dist[state] > dist[source] + 1)
            {
                dist[state] = dist[source] + 1;
                pre[state] = {op[i], source};
                heap.push({dist[state] + f(state), state});
            }
        }
    }

    string res;
    while (end != start)
    {
        res += pre[end].x;
        end = pre[end].y;
    }
    reverse(res.begin(), res.end());

    return res;
}

int main()
{
    string start, seq;
    char c;
    while (cin >> c)
    {
        start += c;
        if (c != 'x') seq += c;
    }

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < 8; i ++ )
        for (int j = i + 1; j < 8; j ++ )
            if (seq[i] > seq[j])
                cnt ++ ;

    if (cnt % 2) puts("unsolvable");
    else cout << bfs(start) << endl;

    return 0;
}

DFS

2.8DFS 之连通性模型

2.8.1迷宫

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

一天Extense在森林里探险的时候不小心走入了一个迷宫，迷宫可以看成是由n×n的格点组成，每个格点只有22种状态，.和#，前者表示可以通行后者表示不能通行。同时当Extense处在某个格点时，他只能移动到东南西北(或者说上下左右)四个方向之一的相邻格点上，Extense想要从点A走到点B，问在不走出迷宫的情况下能不能办到。如果起点或者终点有一个不能通行(为#)，则看成无法办到。

【输入】

第1行是测试数据的组数k，后面跟着k组输入。每组测试数据的第1行是一个正整数n(1≤n≤100)，表示迷宫的规模是n×n的。接下来是一个n×n的矩阵，矩阵中的元素为.或者#。再接下来一行是4个整数ha,la,hb,lb，描述A处在第ha行, 第la列，B处在第hb行, 第lb列。注意到ha,la,hb,lb全部是从0开始计数的。

【输出】

k行，每行输出对应一个输入。能办到则输出“YES”，否则输出“NO”。

【输入样例】

2

3

.##

..#

#..

0 0 2 2

5

.....

###.#

..#..

###..

...#.

0 0 4 0

【输出样例】

YES

NO

思路：简单dfs

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=110;

char g[N][N];
bool st[N][N];
int n;

int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
int f;

void dfs(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    if(x1==x2&&y1==y2) 
    {
        f=1;
        return ;
    }
    st[x1][y1]=true;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        int l=x1+dx[i],r=y1+dy[i];
        if(l>=0&&l<n&&r>=0&&r<n&&g[l][r]=='.'&&!st[l][r])
            dfs(l,r,x2,y2);
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        memset(st,false,sizeof st);
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>g[i];
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        
        f=0;
        dfs(x1,y1,x2,y2);

        if(f) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

2.8.2红与黑

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

有一间长方形的房子，地上铺了红色、黑色两种颜色的正方形瓷砖。你站在其中一块黑色的瓷砖上，只能向相邻的黑色瓷砖移动。请写一个程序，计算你总共能够到达多少块黑色的瓷砖。

【输入】

包括多组数据。每组数据的第一行是两个整数W和H，分别表示x方向和y方向瓷砖的数量。W和H都不超过20。在接下来的H行中，每行包括W个字符。每个字符表示一块瓷砖的颜色，规则如下:

1）‘.’：黑色的瓷砖；

2）‘#’：红色的瓷砖；

3）‘@’：黑色的瓷砖，并且你站在这块瓷砖上。该字符在每组数据中唯一出现一次。

当在一行中读入的是两个零时，表示输入结束。

【输出】

对每组数据，分别输出一行，显示你从初始位置出发能到达的瓷砖数(记数时包括初始位置的瓷砖)。

【输入样例】

6 9

....#.

.....#

......

......

......

......

......

#@...#

.#..#.

0 0

【输出样例】

45

思路：简单dfs搜索。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=25;

bool st[N][N];
char g[N][N];
int m,n;
int ans;

int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};

void dfs(int x,int y)
{
    st[x][y]=true;
    ans++;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        int l=x+dx[i],r=y+dy[i];
        if(l>=0&&l<n&&r>=0&&r<m&&!st[l][r]&&g[l][r]!='#')
            dfs(l,r);
    }
}

int main()
{
    while(cin>>m>>n,m||n)
    {
        memset(st,false,sizeof st);
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>g[i];

        int x,y;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<m;j++)
                if(g[i][j]=='@') x=i,y=j;
        ans=0;
        dfs(x,y);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

2.9DFS 之搜索顺序

2.9.1马走日

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

马在中国象棋以日字形规则移动。

请编写一段程序，给定n×m大小的棋盘，以及马的初始位置(x，y)，要求不能重复经过棋盘上的同一个点，计算马可以有多少途径遍历棋盘上的所有点。

【输入】

第一行为整数T(T < 10)，表示测试数据组数。

每一组测试数据包含一行，为四个整数，分别为棋盘的大小以及初始位置坐标n,m,x,y。(0≤x≤n-1,0≤y≤m-1, m < 10, n < 10)。

【输出】

每组测试数据包含一行，为一个整数，表示马能遍历棋盘的途径总数，0为无法遍历一次。

【输入样例】

1

5 4 0 0

【输出样例】

32

外部搜索的实现。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=25;

bool st[N][N];
char g[N][N];
int m,n,x,y;
int ans;

int dx[8]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2},dy[8]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};

void dfs(int x,int y,int cnt)
{
    if(cnt==n*m)//当搜到n*m个点时，是一个合法的方案
    {
        ans++;
        return ;
    }
    st[x][y]=true;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        int l=x+dx[i],r=y+dy[i];
        if(l>=0&&l<n&&r>=0&&r<m&&!st[l][r])
            dfs(l,r,cnt+1);
    }

    st[x][y]=false;//外部搜索恢复现场
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        memset(st,false,sizeof st);
        cin>>n>>m>>x>>y;
        ans=0;
        dfs(x,y,1);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

2.9.2单词接龙

问题描述

　　单词接龙是一个与我们经常玩的成语接龙相类似的游戏，现在我们已知一组单词，且给定一个开头的字母，要求出以这个字母开头的最长的“龙”（每个单词都最多在“龙”中出现两次），在两个单词相连时，其重合部分合为一部分，例如 beast和astonish，如果接成一条龙则变为beastonish，另外相邻的两部分不能存在包含关系，例如at 和 atide 间不能相连。

输入格式

　　输入的第一行为一个单独的整数n (n<=20)表示单词数，以下n 行每行有一个单词，输入的最后一行为一个单个字符，表示“龙”开头的字母。你可以假定以此字母开头的“龙”一定存在.

输出格式

　　只需输出以此字母开头的最长的“龙”的长度

样例输入

　　5

　　at

　　touch

　　cheat

　　choose

　　tact

　　a

样例输出

23

样例说明

　　连成的“龙”为atoucheatactactouchoose

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=21;

int n;
string word[N];
int g[N][N];//两个单词重合部分最小是多少
int used[N];
int ans;

void dfs(string dragon,int last)//last表示当前接的最后一个单词的编号
{
    ans=max((int)dragon.size(),ans);

    used[last]++;

    for(int i=0;i<n;i++)
        if(g[last][i]&&used[i]<2)//last后面可以接i,并且i还没有用两次的话
            dfs(dragon+word[i].substr(g[last][i]),i);

    used[last]--;
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>word[i];
    char start;
    cin>>start;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            string a=word[i],b=word[j];
            for(int k=1;k<min(a.size(),b.size());k++)
                if(a.substr(a.size()-k,k)==b.substr(0,k))
                {
                    g[i][j]=k;
                    break;
                }
        }
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
        if(word[i][0]==start)
            dfs(word[i],i);//i表示当前最后一个单词编号

    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

含有注释

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21;

int n;//单词数
string str[N];//怎么说也要让输入的那些单词有 地方住呀
              //这里的N表示单词数的最多的个数限度
int g[N][N]={0};//两个单词之间能够重合的最短长度
int ans=0;//记录龙的长度
int used[N]={0};//每个单词使用的次数 

void dfs(string dragon,int last)
{
    ans=max((int)dragon.size(),ans);
    //现在龙的长度，强制转换是因为string的size是无符号长整型
    
    used[last]++;//使用次数+1

    //寻找它的下一个单词
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
       if(g[last][i]&&used[i]<2)//如果跟第i个单词有重复部分，就接上
         dfs(dragon+str[i].substr(g[last][i]),i);
    }
   used[last]--;
   //我来解释一下大多数blog都没讲到的为什么要恢复现场
   //就好比例子来说，touch是第一个被接上的单词
   //那么这个touch在履行完它接龙的责任之后这个循环就结束了呀
   //本来是要由于递归回到at的让人家at继续挑选看看能不能接上其他重合的单词的另一条龙
   //那么好嘞，你at要接上另一条龙了，就说明龙里面已经不是touch作老二了
   //那你是不是要把人家touch还回去，要用的时候再借嘛
   //ok，就是这样。
}

int main()
{
   cin>>n;
   for(int i=0;i<n;i++)
   cin>>str[i];
   
   char sign;
   cin>>sign;//给定一个开头字母 


   //为了枚举字符串之间相同的字串合并形式
   //必须有预处理出来的字符串之间的相同子串邻接表
   //总不能一遍一遍算吧，得有个表
   for(int i=0;i<n;i++)
   {
      for(int j=0;j<n;j++)//也有可能跟自己egtact
      {
         string a=str[i];//当前的单词
         string b=str[j];//被对照的单词 
         for(int k=1;k<min(a.size(),b.size());k++)
         //不用等于是因为不能是包含关系
         //k表示重复的字串的字符个数
         {
            if(a.substr(a.size()-k)==b.substr(0,k))
            //求最小相同字串才能得出最长的龙
            //重合的越多，龙越短
            {
                 g[i][j]=k;
                 break;
             }
        }
      }
   }

     for(int i=0;i<n;i++)//从第一个单词开始
     {
          if(str[i][0]==sign)
          dfs(str[i],i);
          //第一个参数代表现在的龙的现状
          //第二个参数代表此时操作的单词的坐标
     }

     cout<<ans;
          
     return 0;
     }

2.9.3分成互质组

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

给定n个正整数，将它们分组，使得每组中任意两个数互质。至少要分成多少个组？

【输入】

第一行是一个正整数n。1 ≤ n ≤ 10。

第二行是n个不大于10000的正整数。

【输出】

一个正整数，即最少需要的组数。

【输入样例】

6

14 20 33 117 143 175

【输出样例】

3

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=10;

int n;
int p[N];
int group[N][N];
int ans=N;
bool st[N];

int gcd(int a,int b)//判断两个数互质
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

bool check(int group[],int gc,int i)
{
    for(int j=0;j<gc;j++)
        if(gcd(p[group[j]],p[i])>1)//不互质
            return false;
    return true;
}

void dfs(int g,int gc,int tc,int start)//从第g组开始搜，当前组内下标为gc，当前一共有tc个元素，当前搜的时候可以从start开始搜
{
    if(g>=ans) return ;//如果当前组数大于ans
    if(tc==n)//如果搜完n个元素，更新最大值
        ans=g;
    
    bool flag=true;//判断是否能够成一组

    for(int i=start;i<n;i++)
        if(!st[i]&&check(group[g],gc,i))//当前元素没有被搜过，并且当前和组内元素互质
        {
            st[i]=true;
            group[g][gc]=i;
            dfs(g,gc+1,tc+1,i+1);
            st[i]=false;
            flag=false;//能够成为一组
        }
    
    if(flag) dfs(g+1,0,tc,0);//不能分到一组，新开一个组
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>p[i];

    dfs(1,0,0,0);//从第一组开始搜，这一组下标为0,当前一共有0个元素，这一组可以从从0号下标开始搜
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2.10DFS之剪枝与优化

2.10.1小猫爬山

165. 小猫爬山 - AcWing题库

翰翰和达达饲养了 N 只小猫，这天，小猫们要去爬山。

经历了千辛万苦，小猫们终于爬上了山顶，但是疲倦的它们再也不想徒步走下山了（呜咕>_<）。

翰翰和达达只好花钱让它们坐索道下山。

索道上的缆车最大承重量为 W，而 N 只小猫的重量分别是 C1、C2……CN。

当然，每辆缆车上的小猫的重量之和不能超过 W。

每租用一辆缆车，翰翰和达达就要付 1 美元，所以他们想知道，最少需要付多少美元才能把这 N 只小猫都运送下山？

输入格式

第 1 行：包含两个用空格隔开的整数，N 和 W。

第 2..N+1 行：每行一个整数，其中第 i+1 行的整数表示第 i只小猫的重量Ci。

输出格式

输出一个整数，表示最少需要多少美元，也就是最少需要多少辆缆车。

数据范围

1≤N≤18,

1≤Ci≤W≤1e8

输入样例：

5 1996

1

2

1994

12

29

输出样例：

2

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=20;

int n,m;
int w[N];
int sum[N];//每辆车上当前小猫的总重量
int ans=N;

bool cmp(int &a,int &b)
{
    return a>b;
}

void dfs(int u,int k)
{
    //最优性剪枝
    if(k>=ans) return ;
    if(u==n)
    {
        ans=k;
        return ;
    }

    for(int i=0;i<k;i++)
        if(sum[i]+w[u]<=m)//可行性剪枝
        {
            sum[i]+=w[u];
            dfs(u+1,k);
            sum[i]-=w[u];//恢复现场
        }

    //新开一辆
    sum[k]=w[u];
    dfs(u+1,k+1);
    sum[k]=0;//恢复现场
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>w[i];
    sort(w,w+n,cmp);
    dfs(0,0);//当前猫的编号和车的数量
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2.10.2数独

166. 数独 - AcWing题库

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
using namespace std;

const int N = 9, M = 1 << N;

//ones表示0-2^9里每个数有多少个1，map快速地找出这行哪一列可以填，比如map[(10)2] = 1就知道第二列可以填1
int ones[M], map[M];
//分别表示行，列，大方格子有哪些数字没有填
int rows[N], cols[N], cell[3][3];
char s[100];

//is_set = true则在x, y填上t, 否则则把x,y处的数字删掉, t 是0-8
void draw(int x, int y, int t, int is_set) {
    if(is_set)  s[x * N + y] = '1' + t; //t 是0-8
    else s[x * N + y] = '.';

    int v = 1 << t;
    if(!is_set) v = -v;

    //如果某位没被放，则它的二进制位应该是1， 所以应该减去v
    //如果放了，它的二进制应该是0，则经过上面的取反，负负得正，-v实际上就是把二进制0变为1
    rows[x] -= v;
    cols[y] -= v;
    cell[x / 3][y / 3] -= v;
}

//x行y列可以填哪个数字, 最后得到2^i + 2^j..+..，这些i, j就是可以填的数字，最后通过map[2^i]来得到这个数字
int get(int x, int y) {
    return rows[x] & cols[y] & cell[x / 3][y / 3];
}

int init() {
    //cnt表示还剩多少个数字没有填
    int cnt = 0;
    //初始状态state的9位二进制全是1
    int state = (1 << N) - 1;

    //如果row[0] = 111111111 代表第一行可以填9个数, 这里行号是0-8
    fill(rows, rows + N, state);   
    fill(cols, cols + N, state);
    fill(cell[0], cell[0] + N, state);

    for(int i = 0, k = 0; i < N; i++) {
        for(int j = 0; j < N; j++, k++) {
            if(s[k] != '.') {
                draw(i, j, s[k] - '1', true);
            }
            else cnt++;
        }
    }

    return cnt;
}

bool dfs(int cnt) {
    //填完所有数字，则返回
    if(!cnt) return true;  
    //最多可以填多少个数字
    int minv = 10; 
    int x, y;
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        for(int j = 0; j < N; j++) {
            if(s[i * N + j] == '.') {
                //可以填的数字状态，如010001，是1则表示可以填
                int state = get(i, j);     
                 //选一个1的个数最少的，这样的分支数量最少
                if(ones[state] < minv) {
                    minv = ones[state];
                    x = i, y = j;
                } 
            }
        }
    }

    //依次做lowbit操作，选择每个分支
    for(int i = get(x, y); i ; i-= lowbit(i)) {

        //这个t就是要填充的数字
        int t = map[lowbit(i)];

        //填这个数字
        draw(x, y, t, true);    

        //这次填充成功，则返回
        if(dfs(cnt - 1)) return true;   

        //失败则回溯 
        draw(x, y, t, false);   
    }

    return false;
}

int main() {
    //打表，快速地知道可以哪一个数字
    for(int i = 0; i < N; i++) map[1 << i] = i;

    //ones记录每个状态有多少个1，用于选择分支少的开始搜索, 其中M = 1 << N
    for(int i = 0; i < M; i++) {
        for(int j = i; j; j -= lowbit(j)) {
            ones[i] += 1;
        }
    }

    while(cin >> s, s[0] != 'e') {
        int k = init();
        dfs(k);
        puts(s);
    }

    return 0;
}

2.10.3木棒

167. 木棒 - AcWing题库

2.10.4生日蛋糕

168. 生日蛋糕 - AcWing题库

2.11 迭代加深

2.11.1加成序列

170. 加成序列 - AcWing题库

2.12 双向DFS

2.12.1送礼物

171. 送礼物 - AcWing题库

2.13 IDA*

2.13.1排书

180. 排书 - AcWing题库

2.13.2回转游戏

181. 回转游戏 - AcWing题库

3.图论

3.1单源最短路的建图方式

3.1.1热浪

【题目描述】

德克萨斯纯朴的民眾们这个夏天正在遭受巨大的热浪！！！他们的德克萨斯长角牛吃起来不错，可是他们并不是很擅长生產富含奶油的乳製品。Farmer John此时以先天下之忧而忧，后天下之乐而乐的精神，身先士卒地承担起向德克萨斯运送大量的营养冰凉的牛奶的重任，以减轻德克萨斯人忍受酷暑的痛苦。

FJ已经研究过可以把牛奶从威斯康星运送到德克萨斯州的路线。这些路线包括起始点和终点先一共经过T (1 <= T <= 2,500)个城镇，方便地标号為1到T。除了起点和终点外的每个城镇由两条双向道路连向至少两个其它的城镇。每条道路有一个通过费用（包括油费，过路费等等）。

给定一个地图，包含C (1 <= C <= 6,200)条直接连接2个城镇的道路。每条道路由道路的起点Rs，终点Re (1 <= Rs <= T; 1 <= Re <= T)，和花费(1 <= Ci <= 1,000)组成。求从起始的城镇Ts (1 <= Ts <= T)到终点的城镇Te(1 <= Te <= T)最小的总费用。

【输入】

第一行: 4个由空格隔开的整数: T, C, Ts, Te;

第2到第C+1行: 第i+1行描述第i条道路。有3个由空格隔开的整数: Rs, Re和Ci。

【输出】

一个单独的整数表示从Ts到Te的最小总费用。数据保证至少存在一条道路。

【输入样例】

7 11 5 4
2 4 2
1 4 3
7 2 2
3 4 3
5 7 5
7 3 3
6 1 1
6 3 4
2 4 3
5 6 3
7 2 1

【输出样例】

7

【提示】

【样例说明】

5->6->1->4 (3 + 1 + 3)

思路：朴素版的dijkstra算法。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;

int h[N],w[N],e[N*2],ne[N*2],idx;
bool st[N];
int dist[N];
int n,m,S,T;

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[S]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t]))
                t=j;
        st[t]=true;
        for(int j=h[t];j!=-1;j=ne[j])
        {
            int k=e[j];
            dist[k]=min(dist[k],dist[t]+w[j]);
        }
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin>>n>>m>>S>>T;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a, b, c),add(b,a,c);
    }
    dijkstra();
    cout<<dist[T];
    return 0;
}

spfa算法

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=N*2;

int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int n,m,S,E;
int q[N];
bool st[N];
int dist[N];

void init()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
}

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void spfa()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[S]=0;

    int hh=0,tt=1;
    q[0]=S,st[S]=true;

    while(hh!=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i])
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j])
                {
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    cin>>n>>m>>S>>E;
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c),add(b,a,c);
    }
    spfa();
    cout<<dist[E]<<endl;
    return 0;
}

3.1.2信使

【题目描述】

战争时期，前线有n个哨所，每个哨所可能会与其他若干个哨所之间有通信联系。信使负责在哨所之间传递信息，当然，这是要花费一定时间的（以天为单位）。指挥部设在第一个哨所。当指挥部下达一个命令后，指挥部就派出若干个信使向与指挥部相连的哨所送信。当一个哨所接到信后，这个哨所内的信使们也以同样的方式向其他哨所送信。直至所有n个哨所全部接到命令后，送信才算成功。因为准备充足，每个哨所内都安排了足够的信使（如果一个哨所与其他k个哨所有通信联系的话，这个哨所内至少会配备k个信使）。

现在总指挥请你编一个程序，计算出完成整个送信过程最短需要多少时间。

【输入】

第1行有两个整数n和m，中间用1个空格隔开，分别表示有n个哨所和m条通信线路,且1≤n≤100。

第2至m+1行：每行三个整数i、j、k，中间用1个空格隔开，表示第i个和第j个哨所之间存在通信线路，且这条线路要花费k天。

【输出】

一个整数，表示完成整个送信过程的最短时间。如果不是所有的哨所都能收到信，就输出-1。

【输入样例】

4 4
1 2 4
2 3 7
2 4 1
3 4 6

【输出样例】

11

思路：对于每一个点来说，最早接到信的时间，等于他到指挥部的最短距离。

3.2 单源最短路的综合应用

3.3 单源最短路的扩展应用

3.4 floyd算法及其变形

3.5 最小生成树的典型应用

3.6 最小生成树的扩展应用

3.7 SPFA求负环

3.8 差分约束

3.9 最近公共祖先

3.10 有向图的强连通分量

3.11 无向图的双连通分量

3.12 二分图

3.13 欧拉回路和欧拉路径

3.14 拓扑排序

4.高级数据结构

4.1 并查集

4.1.1格子游戏

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

思路

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

int p[N];
int n,m;
int ans;

int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int get(int x,int y)
{
    return x*n+y;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n*n;i++) p[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        string op;
        cin>>x>>y;
        x--,y--;
        cin>>op;
        int a=get(x,y);
        int b;
        if(op=="D") b=get(x+1,y);
        else b=get(x,y+1);
        if(find(a)==find(b))
        {
            ans=i;
            break;
        }
        else p[find(a)]=find(b);
    }
    if(!ans) cout<<"draw"<<endl;
    else cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

4.1.2搭配购买

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

思路

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

int n,m,vol;
int v[N],w[N],f[N],p[N];

int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>vol;

    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];

    //并查集创建所有连通块
    while(m--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        int pa=find(a),pb=find(b);
        if(pa!=pb)
        {
            v[pb]+=v[pa];
            w[pb]+=w[pa];
            p[pa]=pb;
        }
    }

    //01背包
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(p[i]==i)
            for(int j=vol;j>=v[i];j--)
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[vol]<<endl;
    return 0;
}

4.1.3程序自动分析

237. 程序自动分析 - AcWing题库

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;

const int N=200010;

int p[N];
int n,m;

unordered_map<int,int> h;

struct f
{
    int x,y,e;
}a[N];

int get(int x)
{
    if(h.count(x)==0) h[x]=++n;
    return h[x];
}

int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        h.clear();
        n=0;
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int x,y,e;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&e);
            a[i]={get(x),get(y),e};
        }
        
        for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
        //处理相同的数
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if(a[i].e==1)
            {
                int pa=find(a[i].x),pb=find(a[i].y);
                p[pa]=pb;
            }
        }

        int f=0;
        //处理不同的数，找矛盾
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if(a[i].e==0)
            {
                int pa=find(a[i].x),pb=find(a[i].y);
                if(pa==pb)
                {
                    f=1;
                    break;
                }
            }
        }
        if(f) puts("NO");//产生矛盾
        else puts("YES");//满足条件，没有产生矛盾
    }

    return 0;
}

4.1.4奇偶游戏

239. 奇偶游戏 - AcWing题库

有x类，就模x，把他们分成x类

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 2e4 + 10;

int n, m;
int p[N], d[N];
unordered_map<int, int> S;

int get(int x) 
{
    if (S.count(x) == 0) S[x] = ++n;
    return S[x];
}

int find(int x) 
{
    if (p[x] != x) 
    {
        int root = find(p[x]);
        d[x] ^= d[p[x]];
        p[x] = root;
    }
    return p[x];
}

int main() 
{
    cin >> n >> m;
    n = 0;

    for (int i = 0; i < N; i++)
        p[i] = i;

    int res = m;  //如果无矛盾, 输出问题数量, 初始的时候为m
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
    {
        int a, b;
        string type;
        cin >> a >> b >> type;
        a = get(a - 1), b = get(b);  // s[a-1], s[b]

        int t = 0;
        if (type == "odd") t = 1;
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) 
        {
            if ((d[a] ^ d[b]) != t) 
            {
                res = i - 1;
                break;
            }
        } 
        else 
        {
            p[pa] = pb;
            d[pa] = d[a] ^ d[b] ^ t;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

别人更加详细的思路

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 2e4 + 10, Base = N / 2;

int n, m;
int p[N], d[N];
unordered_map<int, int> S;

int get(int x) {
    if (S.count(x) == 0) {
        S[x] = ++n;
    }
    return S[x];
}

int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
        p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    n = 0;

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        p[i] = i;
    }

    int res = m;  //如果无矛盾, 输出问题数量, 初始的时候为m
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b;
        string type;
        cin >> a >> b >> type;
        a = get(a - 1), b = get(b);  // s[a-1], s[b]
        if (type == "even") {
            if (find(a + Base) == find(b)) {
                res = i - 1;
                break;
            }
            p[find(a)] = find(b);
            p[find(a + Base)] = find(b + Base);
        } else {
            if (find(a) == find(b)) {
                res = i - 1;
                break;
            }
            p[find(a + Base)] = find(b);
            p[find(a)] = find(b + Base);
        }
    }
    cout << res << endl;
}

4.1.5银河英雄传说

238. 银河英雄传说 - AcWing题库

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 30010;

int n;
int p[N],s[N],d[N];

/*d[i]的正确理解，应是第 i 个节点到其父节点距离，而不是像有些同学所讲的，到根节点的距离！
这里的x到p[x]的距离并不是都是1，因为我们进行了路径压缩，把x的父亲p[x]插入到另一个的节点后面时，其实插入的是
另一个节点的根节点下面，这时候d[p[x]]就是另一个节点到它的根节点的距离*/
//使得路径上的点直接指向根节点
int find(int x)
{
    if(p[x]!=x)
    {
        int root=find(p[x]);

        //该点到根节点的距离 = 该点到父节点的距离 + 父节点到根节点的距离
        d[x]+=d[p[x]];

        //使该点的父节点直接指向根节点
        p[x]=root;
    }

    return p[x];
}

int main()
{
    cin>>n;

    //初始化
    for(int i=1;i<N;i++) 
    {
        p[i]=i;
        s[i]=1;
    }

    while(n--)
    {
        char op;
        int a,b;
        cin>>op>>a>>b;

        //必须 find 一遍才会更新距离
        int pa=find(a),pb=find(b);
        if(op=='M')
        {
            if(pa!=pb)
            {
                // a 根节点到 b 根节点的距离为 b 的集合大小
                d[pa]=s[pb];

                //更新集合元素个数
                s[pb]+=s[pa];

                //合并集合
                p[pa]=pb;
            }
        }
        else 
        {
            if(pa!=pb) cout<<-1<<endl;
            else cout<<max(abs(d[a]-d[b])-1,0)<<endl;
        }
    }

    return 0;
}

4.2 树状数组

有关请参考树状数组

4.2.1楼兰图腾

241. 楼兰图腾 - AcWing题库

4.2.2一个简单的整数问题

242. 一个简单的整数问题 - AcWing题库

树状数组和差分的应用，树状数组里面只需要存a数组的差分即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int tr[N];
int n,m;
int a[N];

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

void add(int x,int c)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}

int query(int x)
{
    int sum=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];
    return sum;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) add(i,a[i]-a[i-1]);
    while (m -- )
    {
        string op;
        int l,r,d,x;
        cin>>op;
        if(op=="C")
        {
            cin>>l>>r>>d;
            add(l,d),add(r+1,-d);
        }
        else 
        {
            cin>>x;
            cout<<query(x)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

4.2.3一个简单的整数问题2

243. 一个简单的整数问题2 - AcWing题库

则化简为(b1+b2+...+bx)(x+1)-(b1+2b2+...xbx),只需要同时存储bi和i*bi的前缀和即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
typedef long long LL;
int a[N];
LL tr1[N];//维护b[i]的前缀和
LL tr2[N];//维护i*b[i]的前缀和
int n,m;
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
LL add(LL tr[],int x,LL c)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))tr[i]+=c;
}
LL sum(LL tr[],int x)
{
    LL res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))res+=tr[i];
    return res;
}
LL preinx_sum(int x)
{
    return sum(tr1,x)*(x+1)-sum(tr2,x);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int b=a[i]-a[i-1];
        add(tr1,i,b);
        add(tr2,i,(LL)i*b);
    }
    while(m--)
    {
        string op;
        int l,r,d;
        cin>>op>>l>>r;
        if(op=="Q")
        {
            printf("%lld\n",preinx_sum(r)-preinx_sum(l-1));
        }
        else 
        {
            scanf("%d",&d);
            //在a[l]+=d
            add(tr1,l,d),add(tr2,l,l*d);
            //a[r+1]-=d
            add(tr1,r+1,-d),add(tr2,r+1,(r+1)*-d);
        }
    }
    return 0;
}

4.2.4谜一样的牛

244. 谜一样的牛 - AcWing题库

4.3线段树

求前缀和

(1)单点修改 O(logn)

只递归修改包含当前点的区间。

(2)区间查询 O(logn)

查询也是一个递归的过程，递归到包含当前区间的点中。

4.3.0动态区间求连续和

1264. 动态求连续区间和 - AcWing题库

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=100010;

int n,m;

int w[N];//记录一下权重

struct node{
    int l,r;//左右区间

    int sum;//总和
}tr[N*4];//记得开 4 倍空间

void push_up(int u)//利用它的两个儿子来算一下它的当前节点信息
{
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;//左儿子 u<<1 ,右儿子 u<<1|1  
}

void build(int u,int l,int r)/*第一个参数，当前节点编号，第二个参数，左边界，第三个参数，右边界*/
{
    if(l==r)tr[u]={l,r,w[r]};//如果当前已经是叶节点了，那我们就直接赋值就可以了
    else//否则的话，说明当前区间长度至少是 2 对吧，那么我们需要把当前区间分为左右两个区间，那先要找边界点
    {
        tr[u]={l,r};//这里记得赋值一下左右边界的初值

        int mid=l+r>>1;//边界的话直接去计算一下 l + r 的下取整

        build(u<<1,l,mid);//先递归一下左儿子

        build(u<<1|1,mid+1,r);//然后递归一下右儿子

        push_up(u);//做完两个儿子之后的话呢 push_up 一遍u 啊，更新一下当前节点信息
    }
}

int query(int u,int l,int r)//查询的过程是从根结点开始往下找对应的一个区间
{
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r)return tr[u].sum;//如果当前区间已经完全被包含了，那么我们直接返回它的值就可以了
    //否则的话我们需要去递归来算
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;//计算一下我们 当前 区间的中点是多少
    //先判断一下和左边有没有交集

    int sum=0;//用 sum 来表示一下我们的总和

    if(mid>=l)sum+=query(u<<1,l,r);//看一下我们当前区间的中点和左边有没有交集
    if(r>=mid+1)//看一下我们当前区间的中点和右边有没有交集
    sum+=query(u<<1|1,l,r);

    return sum;

}

void modify(int u,int x,int v)//第一个参数也就是当前节点的编号,第二个参数是要修改的位置，第三个参数是要修改的值
{
    if(tr[u].l==tr[u].r)tr[u].sum+=v; //如果当前已经是叶节点了，那我们就直接让他的总和加上 v 就可以了

    //否则
    else
    {

      int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
      //看一下 x 是在左半边还是在右半边
      if(x<=mid)modify(u<<1,x,v);//如果是在左半边，那就找左儿子
      else modify(u<<1|1,x,v);//如果在右半边，那就找右儿子

      //更新完之后当前节点的信息就要发生变化对吧，那么我们就需要 pushup 一遍

      push_up(u);
    }

}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);

    build(1,1,n);/*第一个参数是根节点的下标，根节点是一号点，然后初始区间是 1 到 n */

    //后面的话就是一些修改操作了

    while(m--)
    {
        int k,a,b;

        scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);

        if(!k)printf("%d\n",query(1,a,b));//求和的时候，也是传三个参数，第一个的话是根节点的编号 ，第二个的话是我们查询的区间 
        //第一个参数也就是当前节点的编号
        else
        modify(1,a,b);//第一个参数是根节点的下标,第二个参数是要修改的位置，第三个参数是要修改的值

    }


    return 0;
}

4.3.1最大数

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

原题来自：JSOI 2008

给定一个正整数数列 a1,a2,a3,⋯,an ，每一个数都在 0∼p–1之间。可以对这列数进行两种操作：

添加操作：向序列后添加一个数，序列长度变成 n+1；

询问操作：询问这个序列中最后 L个数中最大的数是多少。

程序运行的最开始，整数序列为空。写一个程序，读入操作的序列，并输出询问操作的答案。

【输入】

第一行有两个正整数 m,p，意义如题目描述；

接下来 m 行，每一行表示一个操作。如果该行的内容是 Q L，则表示这个操作是询问序列中最后 L 个数的最大数是多少；如果是 A t，则表示向序列后面加一个数，加入的数是 (t+a)modp。其中，t 是输入的参数，a 是在这个添加操作之前最后一个询问操作的答案（如果之前没有询问操作，则 a=0）。

第一个操作一定是添加操作。对于询问操作，L>0 且不超过当前序列的长度。

【输出】

对于每一个询问操作，输出一行。该行只有一个数，即序列中最后 L个数的最大数。

【输入样例】

10 100

A 97

Q 1

Q 1

A 17

Q 2

A 63

Q 1

Q 1

Q 3

A 99

【输出样例】

97

97

97

60

60

97

#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2e5+5;
struct node{
    int l,r;
    ll mx;
    int mid() {
        return (l+r)/2;
    }
}tre[4*M];
void pushup(int rt) {
    tre[rt].mx =max(tre[rt*2].mx ,tre[rt*2+1].mx );
}
void build(int rt,int l,int r) {
    if (l==r) {
        tre[rt]={l,r,0};
    } else {
        tre[rt]={l,r};
        int mid=tre[rt].mid() ;
        build(rt*2,l,mid);
        build(rt*2+1,mid+1,r);
        pushup(rt);
    }
}
ll query(int rt,int i,int j) {
    if (i<=tre[rt].l &&tre[rt].r <=j) {
        return tre[rt].mx ;
    } else {
        ll ans=0;
        int mid=tre[rt].mid() ;
        if (i<=mid) ans=max(ans,query(rt*2,i,j));
        if (j>mid) ans=max(ans,query(rt*2+1,i,j));
        return ans;
    }
}
void modify(int rt,int i,ll x) {
    if (tre[rt].l ==i&&tre[rt].r ==i) {
        tre[rt].mx =x;
    } else {
        int mid=tre[rt].mid() ;
        if (i<=mid) modify(rt*2,i,x);
        else modify(rt*2+1,i,x);
        pushup(rt);
    }
}
ll cmp;
int main() {
    int m; ll p;
    scanf("%d%lld",&m,&p);
    build(1,1,m);
    int flag=0;
    while (m--) {
        char w[2];
        ll x;
        scanf("%s%lld",&w,&x);
        if (w[0]=='A') {
            flag++;
            x=(x+cmp)%p;
            modify(1,flag,x);
        } else {
            cmp=query(1,flag-x+1,flag);
            printf("%lld\n",cmp);
        }
    }
    return 0; 
}

4.3.2你能回答这些问题吗

245. 你能回答这些问题吗 - AcWing题库

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 500010;
int n,m;
int a[N];
struct Node {
    int l,r;
    int tmax,lmax,rmax,sum;
}tr[4 * N];
void pushup (Node &u,Node &l,Node &r) {
    u.sum = l.sum + r.sum;
    u.lmax = max (l.lmax,l.sum + r.lmax);
    u.rmax = max (r.rmax,r.sum + l.rmax);
    u.tmax = max (max (l.tmax,r.tmax),l.rmax + r.lmax);
}
void pushup (int u) {
    pushup (tr[u],tr[u * 2],tr[u * 2 + 1]);
}
void build (int u,int l,int r) {
    if (l == r) tr[u] = {l,r,a[l],a[l],a[l],a[l]};
    else {
        tr[u].l = l,tr[u].r = r;
        int mid = l + r >> 1;
        build (u * 2,l,mid),build (u * 2 + 1,mid + 1,r);
        pushup (u);
    }
}
int modify (int u,int x,int v) {
    if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) tr[u] = {x,x,v,v,v,v};
    else {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid) modify (u * 2,x,v);
        else modify (u * 2 + 1,x,v);
        pushup (u);
    }
}
Node query (int u,int l,int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u];
    else {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (r <= mid) return query (u * 2,l,r);
        if (l > mid) return query (u * 2 + 1,l,r);
        Node left = query (u * 2,l,r);
        Node right = query (u * 2 + 1,l,r);
        Node ans;
        pushup (ans,left,right);
        return ans;
    }
}
int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    build (1,1,n);
    while (m--) {
        int x,l,r;
        cin >> x >> l >> r;
        if (x == 1) {
            if (l > r) swap (l,r);
            cout << query (1,l,r).tmax << endl;
        }
        else modify (1,l,r);
    }
    return 0;
}

4.3.3区间最大公约数

246. 区间最大公约数 - AcWing题库

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 500010;
int n, m;           //n个数，m个询问
LL w[N];
struct Node{
    int l, r;
    LL sum, d;
}tr[4 * N];

LL gcd(LL a, LL b)  //求最大公约数
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void pushup(Node &u, Node &l, Node &r)  //由子区间信息更新父区间信息
{
    u.sum = l.sum + r.sum;
    u.d = gcd(l.d, r.d);
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u], tr[u << 1], tr[u << 1 | 1]);
}

void build(int u, int l, int r)         //建树
{
    tr[u].l = l, tr[u].r = r;
    if ( l == r ) 
        tr[u].d = w[l] - w[l - 1], tr[u].sum = w[l] - w[l - 1];
    else
    {
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u, int x, LL v)         //修改
{
    if ( tr[u]. r == x && tr[u].l == x ) 
        tr[u].d = tr[u].sum + v, tr[u].sum += v;    
    else
    {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if ( mid >= x ) modify(u << 1, x, v);
        else modify(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}

Node query(int u, int l, int r)
{
    if ( tr[u].l >= l && tr[u].r <= r ) return tr[u];
    else
    {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if ( mid >= r ) return query(u << 1, l, r);
        else if ( mid < l ) return query(u << 1 | 1, l, r);
        else
        {
            Node left = query(u << 1, l, r);        //如果当前访问区间的子区间横跨询问区间
            Node right = query(u << 1 | 1, l, r);   //则递归两个子区间
            Node res;                               //res相当于left和right的父区间
            pushup(res, left, right);               //相当于求right和left区间合并后的结果
            return res;
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for ( int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%lld", &w[i]);
    build(1, 1, n);
    int l, r;
    LL d;
    char op[2];
    while ( m -- )
    {
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        if ( * op == 'C' ) 
        {
            scanf("%lld", &d);
            modify(1, l, d);                            //差分操作l处加d，r+1处减d
            if ( r + 1 <= n ) modify(1, r + 1, -d);     //注意判断r+1与n的关系
        }
        else
        {
            Node left = query(1, 1, l);                 //gcd(a[l])
            Node right = {0, 0, 0, 0};                  //若l+1>r
            if ( l + 1 <= r ) right = query(1, l + 1, r);   //gcd(b[l+1]~b[r])
            printf("%lld\n", abs(gcd(left.sum, right.d)));  //输出正数
        }
    }
    return 0;
}

4.3.4一个简单的整数问题2

4.3.5亚特兰蒂斯

4.3.6维护序列

4.4 可持久化数据结构

4.4.1最大异或和

最大异或和 - 洛谷

题目描述
给定一个非负整数序列 {a}，初始长度为n。

有 m 个操作，有以下两种操作类型：

A x：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 xx，序列的长度 n+1。
Q l r x：询问操作，你需要找到一个位置 p，满足l≤p≤r，使得：a[p]⊕a[p+1]⊕...⊕a[N]⊕x 最大，输出最大是多少。
输入格式
第一行包含两个整数 N,M，含义如问题描述所示。
第二行包含 N个非负整数，表示初始的序列A 。
接下来 M行，每行描述一个操作，格式如题面所述。

输出格式
假设询问操作有 T 个，则输出应该有 T 行，每行一个整数表示询问的答案。

输入输出样例
输入 #1复制
5  5
2  6 4 3 6
A 1 
Q 3 5 4 
A 4
Q 5 7 0 
Q 3 6 6 
输出 #1复制
4
5
6
思路：

就是存下来trie的每个版本。

4.4.2第K小数

4.5 平衡树——Treap

4.5.1普通平衡树

253. 普通平衡树 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, INF = 1e8;
int n;
struct Node
{
    int l, r;
    int k;
    int val;//堆中的编号
    int cnt, size;
}tr[N];
int root, idx;
void pushup(int u)
{
    tr[u].size = tr[tr[u].l].size + tr[tr[u].r].size + tr[u].cnt;//上传节点信息，更新size
}
int new_node(int k)
{
    tr[ ++ idx].k = k;
    tr[idx].val = rand();//尽量随机，随手给个就行
    tr[idx].cnt = 1;
    tr[idx].size = 1;
    return idx;
}
void zig(int &u)//左右旋，没啥好说的，自己在纸上画一下就知道了
{
    int q = tr[u].l;
    tr[u].l = tr[q].r;
    tr[q].r = u;
    u = q;
    pushup(tr[u].r);
    pushup(u);//最后一定要记得上传，不然完了
}
void zag(int &u)
{
    int q = tr[u].r;
    tr[u].r = tr[q].l;
    tr[q].l = u;
    u = q;
    pushup(tr[u].l);
    pushup(u);
}
void build()//建树操作，为了正确性增加两个哨兵，防止越界
{
    new_node(-INF), new_node(INF);
    root = 1, tr[1].r = 2;//初始化一下
    pushup(root);//上传信息
    if(tr[1].val< tr[2].val) zag(root);//不平衡了就旋转
}
void insert(int &u, int k)
{
    if(u == 0) u = new_node(k);//如果走到空了，就新建
    else
    {
        if(tr[u].k == k)//如果找到了相同的节点，就cnt++
        {
            tr[u].cnt ++;
        }
        else
        {
            if(tr[u].k > k)//否则看看是在左边还是在右边
            {
                insert(tr[u].l, k);
                if(tr[tr[u].l].val > tr[u].val) zig(u);//不平衡立马调整
            }
            else
            {
                insert(tr[u].r, k);
                if(tr[tr[u].r].val > tr[u].val) zag(u); 
            }
        }
    }
    pushup(u);//最后上传一下，是不是和线段树有点像啊？
}
void del(int &u, int k)//删除操作
{
    if(u == 0) return ;//如果没了说明节点不存在，就不管了。
    if(tr[u].k == k)//如果找到了这个点
    {
        if(tr[u].cnt > 1) tr[u].cnt --;//大于一好说，直接cnt --
        else//不大于一
        {
            if(tr[u].l || tr[u].r)//先看看是不是叶节点
            {
                if(!tr[u].r || tr[tr[u].l].val) 
                {
                    zig(u);
                    del(tr[u].r, k);//记得维护平衡哦
                }
                else
                {
                    zag(u);
                    del(tr[u].l, k);
                }
            }
            else u = 0;//是的话不用考虑平衡问题，直接删就是了
        }
    }
    else if(tr[u].k > k) del(tr[u].l, k);//如果没有找到就判断一下在左右两边的哪一边
    else del(tr[u].r, k);//找一下
    pushup(u);//上传更改
}
int get_rank(int u, int k)
{
    if(u == 0) return 0;//是0随便返回就行
    if(tr[u].k == k) return tr[tr[u].l].size + 1;//相等了那排名应该就是左边的数量加上自己
    if(tr[u].k > k) return get_rank(tr[u].l, k);//大了找左边
    return tr[tr[u].l].size + tr[u].cnt + get_rank(tr[u].r, k);//找右边
} 
int get_key(int u, int rank)
{
    if(u == 0) return INF;
    if(tr[tr[u].l].size >= rank) return get_key(tr[u].l, rank);//找左边
    if(tr[tr[u].l].size + tr[u].cnt >= rank) return tr[u].k;//如果满足条件就直接return
    return get_key(tr[u].r, rank - tr[tr[u].l].size - tr[u].cnt);//不然就找右边
}
int get_pr(int u, int k)//前驱
{
    if(u == 0) return -INF;
    if(tr[u].k >= k) return get_pr(tr[u].l, k);//找左边
    return max(get_pr(tr[u].r, k), tr[u].k);//可能是右边可能是这个数，所以用个max
}
int get_ne(int u, int k)//后继
{
    if(u == 0) return INF;//后继的写法和前驱相反，大家可以注意一下
    if(tr[u].k <= k) return get_ne(tr[u].r, k);
    return min(get_ne(tr[u].l, k), tr[u].k);
}
int main()
{
    build();//建树，要是忘了就凉了
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int op, x;
        cin >> op >> x;
        if(op == 1) insert(root, x);
        else if(op == 2) del(root, x);
        else if(op == 3) cout << get_rank(root, x) - 1 << endl;
        else if(op == 4) cout << get_key(root, x + 1) << endl;
        else if(op == 5) cout << get_pr(root, x) << endl;
        else cout << get_ne(root, x) << endl;//读入操作并进行处理
    }//结束了！！！下次再见！！
    return 0;
}

4.5.2营业额统计

4.6 AC自动机

4.6.1搜索关键词

4.6.2单词

5.数学知识

5.1 筛质数

5.2 分解质因数

5.3 快速幂

5.4 约数个数

5.5 欧拉函数

5.6 同余

5.7 矩阵乘法

5.8 组合计数

5.9 高斯消元

5.10 容斥原理

5.11 概率与数学期望

5.12 博弈论

6.基础算法

6.1 位运算

6.1.1 64位整数乘法

90. 64位整数乘法 - AcWing题库

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL f(LL a,LL b,LL p)
{
    LL res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=((LL)res+a)%p;
        a=(LL)a*2%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    LL a,b,p;
    cin>>a>>b>>p;
    cout<<f(a,b,p)<<endl;
    return 0;
}

6.2 递归

6.2.1费解的开关

95. 费解的开关 - AcWing题库

你玩过“拉灯”游戏吗？

25盏灯排成一个 5×5 的方形。

每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。

每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。

游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。

我们用数字 1 表示一盏开着的灯，用数字 0 表示关着的灯。

下面这种状态

10111

01101

10111

10000

11011

在改变了最左上角的灯的状态后将变成：

01111

11101

10111

10000

11011

再改变它正中间的灯后状态将变成：

01111

11001

11001

10100

11011

给定一些游戏的初始状态，编写程序判断游戏者是否可能在 6 步以内使所有的灯都变亮。

输入格式

第一行输入正整数 n，代表数据中共有 n 个待解决的游戏初始状态。

以下若干行数据分为 n 组，每组数据有 5 行，每行 5 个字符。

每组数据描述了一个游戏的初始状态。

各组数据间用一个空行分隔。

输出格式

一共输出 n 行数据，每行有一个小于等于 6 的整数，它表示对于输入数据中对应的游戏状态最少需要几步才能使所有灯变亮。

对于某一个游戏初始状态，若 66 步以内无法使所有灯变亮，则输出 −1。

数据范围

0<n≤500

输入样例：

3

00111

01011

10001

11010

11100

11101

11101

11110

11111

11111

01111

11111

11111

11111

11111

输出样例：

3

2

-1

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=10,INF=2e9;
char g[N][N],bg[N][N];

int dx[5]={0,-1,0,1,0},dy[5]={0,0,1,0,-1};

void turn(int x,int y)//按一下,变5个位置
{
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        int l=x+dx[i],r=y+dy[i];
        if(l>=0&&l<5&&r>=0&&r<5)
            g[l][r]^=1;
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        for(int i=0;i<5;i++) cin>>bg[i];
        int res=INF;
        for(int op=0;op<32;op++)//第一行5个位置共32种按法都先按一遍，依次枚举，
        {
            int cnt=0;
            memcpy(g,bg,sizeof g);//把全新状态复制一下
            for(int i=0;i<5;i++)/*我们枚举的i>>j&1时的0或者1，只是表示该位置上按或者不按，0表示没有按，1表示按下，而不是表示亮或者不亮*/
                if(op>>i&1)//第一行枚举的i的第j位如果是1，是指第一行的这一位应该被切换状态(开灯或关灯)，而和其初始状态无关
                {
                    turn(0,i);
                    cnt++;
                }

            //递推出1~4行开关的状态
            for(int i=0;i<4;i++)
                for(int j=0;j<5;j++)
                    if(g[i][j]=='0') 
                    {
                        turn(i+1,j);
                        cnt++;
                    }

            //检查最后一行开关是否合法
            bool success=true;
            for(int i=0;i<5;i++)
                if(g[4][i]=='0') success=false;
            if(success&&res>cnt) res=cnt;
        }
        if(res>6) res=-1;
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

6.2.2约数之和

97. 约数之和 - AcWing题库

更加详细方法二：

#include <iostream>

using namespace std;

const int mod = 9901;

int qmi(int a, int k)
{
    a %= mod;
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int sum(int p, int k)
{
    if (k == 0) return 1;
    if (k % 2 == 0) return (p % mod * sum(p, k - 1) % mod + 1) % mod;
    return sum(p, k / 2) % mod * (1 + qmi(p, k / 2 + 1)) % mod;
}

int main()
{
    int A, B;
    cin >> A >> B;

    int res = 1;
    for (int i = 2; i <= A; i ++ )
    {
        int s = 0;
        while (A % i == 0)
        {
            s ++ ;
            A /= i;
        }

        if (s) res = res * sum(i, s * B) % mod;
    }

    if (!A) res = 0;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

6.2.3分形之城

98. 分形之城 - AcWing题库

6.3 前缀和与差分

6.3.1激光炸弹

99. 激光炸弹 - AcWing题库

思路：二维前缀和的构造。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
const int N=5100;

int s[N][N];

int n,R;

int main()
{
    cin>>n>>R;
    R=min(R,5001);
    int ans=0;
    while (n -- )
    {
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        x++,y++;
        s[x][y]+=w;
    }
    
    for(int i=1;i<=5001;i++)
        for(int j=1;j<=5001;j++)
            s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    for(int i=R;i<=5001;i++)
        for(int j=R;j<=5001;j++)
        {
            int p=s[i][j]-s[i-R][j]-s[i][j-R]+s[i-R][j-R];
            ans=max(ans,p);
        }
    cout<<ans;
    return 0;
}

6.3.2增减序列

100. 增减序列 - AcWing题库

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 110000
ll n,m,i,j,p,q,a[N];
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        ll c=a[i]-a[i-1];
        if (c>0)//不要输入 if (c) 因为c是指不为0就好了,如果c为-1,那么最后的布尔值也为1,if(c)的意思是,只要c不为0,那么条件的布尔值都为1
            p+=c;
        else
            q-=c;
    }
    ll ans1=max(p,q),ans2=abs(p-q)+1;
    cout<<ans1<<endl<<ans2;
    return 0;
}

6.4 二分

6.4.1最佳牛围栏

102. 最佳牛围栏 - AcWing题库

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int cows[N];
double sum[N];

bool check(double avg)
{
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        sum[i] = sum[i - 1] + cows[i] - avg;

    double mins = 0;
    for (int i = m, j = 0; i <= n; i ++, j ++ )
    {
        mins = min(mins, sum[j]);
        if (sum[i] - mins >= 0) return true;
    }

    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    double l = 0, r = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> cows[i];
        r = max(r, (double)cows[i]);
    }

    while (r - l > 1e-5)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }

    printf("%d\n", (int)(r * 1000));

    return 0;
}

6.4.2特殊排序

113. 特殊排序 - AcWing题库

通过sort排序的特殊方式进行排序。

// Forward declaration of compare API.
// bool compare(int a, int b);
// return bool means whether a is less than b.

class Solution {
public:
    vector<int> specialSort(int N) {
        vector<int>v;
        for(int i=1;i<=N;++i)v.push_back(i);
        stable_sort(v.begin(),v.end(),compare);
        return v;
    }
};

6.5 排序

6.5.1七夕祭

105. 七夕祭 - AcWing题库

6.5.2动态中位数

106. 动态中位数 - AcWing题库

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdio>

using namespace std;

int main()
{
    int T;                                                      //T为数据集个数
    scanf("%d", &T);

    while (T -- )
    {
        int id, n;
        scanf("%d%d", &id, &n);
        printf("%d %d\n", id, n + 1 >> 1);                      //输出数据集编号和中位数个数(即奇数位个数)


        priority_queue<int> down;                               //大根堆
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> up;      //小根堆

        int cnt = 0;                                            //用于分隔输出,每十个数一行
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);

            if (down.empty() || x <= down.top()) down.push(x);  //下面为空或x小于下方堆顶,则将x插入大根堆
            else up.push(x);

            //如果有偶数个数,上面和下面一样多,如果有奇数个数,则下面比上面多一个
            if (down.size() > up.size() + 1) up.push(down.top()), down.pop();   //下面多了挤一个放上面
            if (up.size() > down.size()) down.push(up.top()), up.pop();         //上面多了挤一个放下面

            if (i % 2 == 0)                                     //每插入奇数个数就输出一次中位数
            {
                printf("%d ", down.top());
                if ( ++ cnt % 10 == 0) puts("");
            }
        }

        if (cnt % 10) puts("");                                 //不是整十数行,就手动输入一个空行
    }
    return 0;
}

6.5.3超快速排序

107. 超快速排序 - AcWing题库

最小交换次数就是逆序对数。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 500010;
int n;
int a[N],tmp[N];
LL merge_sort (int l,int r) {
    if (l == r) return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    LL ans = merge_sort (l,mid) + merge_sort (mid + 1,r);
    int i = l,j = mid + 1,k = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++];
        else {
            tmp[k++] = a[j++];
            ans += mid - i + 1;
        }
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];
    for (int i = l,j = 0;i <= r;i++,j++) a[i] = tmp[j];
    return ans;
}
int main () {
    while (cin >> n,n) {
        for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
        cout << merge_sort (1,n) << endl;
    }
    return 0;
}

6.6 RMQ

6.6.1天才的记忆

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

【题目描述】

原题来自：Vijos P1512

从前有个人名叫 W and N and B，他有着天才般的记忆力，他珍藏了许多许多的宝藏。在他离世之后留给后人一个难题（专门考验记忆力的啊！），如果谁能轻松回答出这个问题，便可以继承他的宝藏。

题目是这样的：给你一大串数字（编号为 1到 N，大小可不一定哦！），在你看过一遍之后，它便消失在你面前，随后问题就出现了，给你 M个询问，每次询问就给你两个数字 A,B，要求你瞬间就说出属于 A 到 B这段区间内的最大数。

一天，一位美丽的姐姐从天上飞过，看到这个问题，感到很有意思（主要是据说那个宝藏里面藏着一种美容水，喝了可以让这美丽的姐姐更加迷人），于是她就竭尽全力想解决这个问题。BUT，她每次都以失败告终，因为这数字的个数是在太多了！于是她请天才的你帮他解决。如果你帮她解决了这个问题，可是会得到很多甜头的哦！

【输入】

第一行一个整数 N表示数字的个数，接下来一行为 N个数。第三行读入一个 M，表示你看完那串数后需要被提问的次数，接下来 M行，每行都有两个整数 A,B。

【输出】

输出共 M行，每行输出一个数，表示对一个问题的回答。

【输入样例】

6

34 1 8 123 3 2

4

1 2

1 5

3 4

2 3

【输出样例】

34

123

123

8

注意：RMQ算法只能求静态数组区间的最大值，不能求动态数组区间最大值。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 200010, M = 18;
int n, m;
int w[N];
int f[N][M];

void init()
{
    for (int j = 0; j < M; j ++)
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1<= n; i ++)
            if (!j) f[i][j] = w[i];
            else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}

int query(int l, int r)
{
    int len = r - l + 1;
    int k = log(len) / log(2);
    return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   scanf("%d",&w[i]);
    init();
    scanf("%d", &m);
    while(m --)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", query(l, r));
    }
    return 0;
}