融合黄金正弦算法和纵横交叉策略的秃鹰搜索算法(GSCBES)

摘要：针对传统秃鹰搜索算法（BES）存在容易陷入局部最优、收敛速度慢等缺点，提出一种融合黄金正弦算法（Gold-SA）和纵横交叉策略的秃鹰搜索算法（GSCBES）。首先，在传统BES的搜索阶段设置基于惯性权重的位置更新公式；然后，在捕食猎物阶段引入Gold-SA；最后，引入纵横交叉策略对全局最优和种群进行修正。

1.秃鹰优化算法

基础秃鹰优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/113775430

2.改进秃鹰优化算法

2.1 基于纵横交叉策略

在秃鹰优化算法中, 尤其是在空间选择这一阶段, 是利用随机搜 索的先验信息乘以 $\alpha$ 来更新位置的,然后在前一个搜索区域附近选 择另一个不同搜索区域, 这种选择方式就有可能会出现若前一个搜 索区域已经为局部最优, 而下一次的搜索就会陷人局部最优, 就会导 致算法收玫精度降低。为了防止秃鹰个体陷人“早熟”的现象, 本文 在个体俯冲捕食阶段之后引人了纵横交叉策略 ${}^{[7]}$, 该算法在不显著 影响收玫速度的情况下提高全局搜索能力, 利用水平交叉和垂直交 叉这两个搜索因子, 使其在解决复杂优化问题中, 能够提高收玫速度 和求解精度。

水平交叉
水平交叉指的是对两个不同秃鹰之间在所有维度上操作的算术 交叉, 使得不同个体之间能够相互学习, 增大全局搜索能力, 防止种 群过早收玫, 从而提高收玫速度和搜索精度。在执行水平交叉策略 之前, 将秃鹰个体两两不重复的设置为父代个体 $X(i)$ 和 $X(j)$, 并以交 叉概率 $P_1$ 进行算术交叉, 为了尽可能多地找到解决方案, 通常交叉概 率设置为 1 。父代交叉后通过式(16) (17) 产生子代个体:
$$\begin{array}{rl}& M_{i,d}^{hc}={\mathrm{q}}_1\cdot X(i,d)+\left(1-{\mathrm{q}}_i\right)\cdot X(j,d)+{\mathrm{c}}_1\cdot (X(i,d)-X(j,d))\end{array}\text{\hspace{1em}(16)}$$

$$\begin{array}{rl}& M_{j,d}^{hc}={\mathrm{q}}_2\cdot X(j,d)+\left(1-{\mathrm{q}}_2\right)\cdot X(i,d)+{\mathrm{c}}_2\cdot (X(j,d)-X(i,d))\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$
式中: ${\mathrm{q}}_1、{\mathrm{q}}_2$ 均为 $[0,1]$ 之间的随机数; ${\mathrm{c}}_1$ 和 ${\mathrm{c}}_2$ 均为 $[-1,1]$ 之间的随机 数; $X(i,d)、X(j,d)$ 分别表示为第 $\mathrm{d}$ 维的父代 $X(i)$ 和 $X(j);M_{i,d}^{hc}、M_{j,d}^{hc}$ 分 别表示为父代 $X(i)、X(j)$ 在第 $\mathrm{d}$ 维交叉后产生的子代。生成的子代与 父代之间进行竞争, 最终保留最优个体。

垂直交叉

标准的 BES 在迭代后期易陷人局部最优, 往往是因为种群在更 新过程中某些个体在某一维度陷人局部最优所造成的。垂直交叉是 在两个不同维度之间对所有个体进行运算的算术交叉,在整个迭代 过程中, 垂直交叉搜索的父种群是来自水平交叉的优势解的种群, 这 就能够防止种群陷人局部最优, 同时每个垂直交叉操作只产生一个 子代, 以便为停滞维度提供跳出局部最优的机会, 而不破坏另一个可 能是全局最优的维度。对个体 $\mathrm{i}$ 的第 ${\mathrm{d}}_1$ 维和第 ${\mathrm{d}}_2$ 维进行垂直交叉, 通 过式 (18)得到后代个体:
$$M_{d_1}^{vc}=\mathrm{q}\cdot X\left(i,{\mathrm{d}}_1\right)+(1-\mathrm{q})\cdot X\left(i,{\mathrm{d}}_2\right)\text{\hspace{1em}(18)}$$
式中: $q$ 为 $[0,1]$ 区间上的随机数: $M_{d_1}^{vc}$ 为父代 $X(i)$ 在第 ${\mathrm{d}}_1$ 维和第 ${\mathrm{d}}_2$ 维 进行垂直交叉产生的子代。垂直交叉产生的子代个体与父代进行竞 争,保留适应度较优的个体。

2.2 基于惯性权重的位置更新

本文提出一种基于惯性权重的秃鹰位置更新公式,用 于更新搜索阶段的位置公式,赋予秃鹰能够调整全局和局部搜索的 能力, 对标准 BES算法的性能有了很大的提高。
$$\omega (\mathrm{t})={\omega }_{\text{init }}-\left({\omega }_{\text{init }}-{\omega }_{fin}\right)\ast {\mathrm{e}}^{\frac{t}{t_{\max }}}\text{\hspace{1em}(20)}$$

$$\begin{array}{rl}& P_{i,\text{ new }}=b_1\cdot \omega (\mathrm{t})\cdot \left(P_i+y(\mathrm{i})\ast \left(P_i-P_{i+1}\right)\right)+{\mathrm{b}}_2\cdot w(\mathrm{t})\cdot x(\mathrm{i})\ast \left(P_i-{\mathrm{P}}_{\text{mean }}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(21)}$$
式中, $b_1\in [0,1]$ 为群体交流系数; $b_2\in [0,1]$ 为个体记忆系数; $t_{\text{max }}$ 为 最大迭代次数; ${\omega }_{\mathrm{ini}}$ 为惯性权重初始值; ${\omega }_{\text{end }}$ 为惯性权重最终值。通常 ${\omega }_{\text{ini }}$ 取 $0.9,{\omega }_{\text{end }}$ 取 0.4 。

2.3 黄金正弦捕食机制

本文将 黄金正弦算法作为局部算子引人到俯冲捕食阶段的位置更新公式 中, 使算法的寻优空间能够全面, 加快算法的寻优速度以及求解精 度。同时利用 Golden-SA算法中的 ${\mathrm{r}}_1、{\mathrm{r}}_2$ 参数能够缩小搜索空间, 指引 秃鹰个体快速向种群最优个体靠近, 降低算法陷人局部最优的可能, 具体的位置更新公式如下:
$$\begin{array}{rl}& P_{i,\text{ new }}=\left|\sin \left({\mathrm{r}}_1\right)\right|\ast \left(\mathrm{rand}\ast P_{\text{best }}+x(\mathrm{i})\ast \left(P_i-{\mathrm{c}}_1\ast {\mathrm{P}}_{\text{mean }}\right)\right)\\ & +{\mathrm{r}}_2\ast \sin \left({\mathrm{r}}_1\right)\ast \mathrm{y}(\mathrm{i})\ast \left|\left(x_1\ast P_i-x_2\ast c_2\ast P_{\text{best }}\right)\right|\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$
式中: ${\mathrm{r}}_1$ 为 $[0,2\pi ]$ 区间内的随机数; ${\mathrm{r}}_2$ 为 $[0,\pi ]$ 区间内的随机数; $x_1=$ $-\pi +(1-\tau )\ast 2\pi ,x_2=-\pi +\tau \ast 2\pi$ 是根据黄 金分割系数 $\tau (\tau =$ $(\sqrt{5}-1)/2)$ 而得到的系数。这些系数缩小了搜索空间, 允许当前值 接近理想值。

GSCBES的步骤如下所示：

Step1: 设置 GSCBES 的相关参数, 种群规模 $\mathrm{N}$, 最大迭代次数 $t_{\text{max }}$, 搜索维度 $\dim$, 搜索范围 $ub、lb$ 。

Step2: 计算种群中每个秃鹰个体的适应度值, 并根据目标函数值 的大小进行排序, 标记出全局最优值 $P_{best}$ 。

Step3: 根据全局最优值 ${\mathrm{P}}_{\text{best }}$ 的位置进行搜索空间的选择, 同时利 用式(1)进行位置更新。

Step 4 : 选取完搜索空间之后使用螺旋移动搜索, 秃鹰个体在搜索 空间搜索猎物,利用式(21)进行位置更新。
Step5: 秃鹰俯冲捕食, 利用式 (22)进行位置更新。
Step6:引人纵横交叉策略, 防止算法陷人局部最优。
Step7: 判断是否达到结束条件, 如果达到则输出最优结果, 否则 重复步骤Step2 Step6。

3.实验结果

4.参考文献

[1]赵沛雯,张达敏,张琳娜,邹诚诚.融合黄金正弦算法和纵横交叉策略的秃鹰搜索算法[J].计算机应用,2023,43(01):192-201.

5.Matlab代码

6.python代码