70.爬楼梯（改版题目）

• 本题是装满背包的排列数问题

• 看是组合还是排列问题，只要看取同样两个物品，顺序不同的时候，是不是同样的方案就行了。

• 完全背包排列数问题，注意数组下标越界所以要加上限制条件

力扣原题：（斐波那契数列）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

改版：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 m (0<m<n) 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

思路

每次可以爬m个台阶，意味着每一步都可以在1–m之间任意选择，因此可以转化为一个背包问题，每一步的m就是物品，n就是背包的容量，且物品可以重复选取（例如跳了1阶，还可以再跳1阶），因此是一个完全背包问题。

可以转化为，每一次取物品都在{1,2,……m}之间进行取值，可以重复取同一个物品，最后需要填满容量为n的背包，共有多少种方法？

遍历顺序

本题重要的是确认到底是组合数还是排列数。因为每次取物品可以在{1,2,……m}之间进行取值，而且取"1""2"和取“2""1"是不一样的！第一步先走1步还是先走2步，是两种不一样的方案！

看是组合还是排列，只要看取同样两个物品，顺序不同的时候，是不是同样的方案就行了。

因此，这是完全背包排列数问题，背包在外，物品在内。

完整版

• 也属于填满背包的方法问题，且为组合数，物品在外，背包在内
• 注意公式一直都是背包容量在左边！不管背包容量是i还是j！

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n,int m) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        dp[0]=1;
        //排列数，背包在外物品在内
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                //注意边界条件
                if(i>=j){
                     dp[i]+=dp[i-j];//注意公式一直都是背包容量在左边！不管背包容量是i还是j！
                }
               
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

总结+面试情况

本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包。

面试可能的情况是，先给候选人出一个爬楼梯原题，再出本题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]（这里的意思是每次可以爬的台阶是{1,2……m}，要注意确认意图）个台阶应该怎么写。

顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。

这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。

322.零钱兑换（DP数组含义的进一步理解）

• 本题与 474.一和零 很像，属于装满背包的最小物品个数，一和零 是装满背包最大物品个数

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

思路

首先本题也属于给定目标（背包容量），要求填满背包的问题。

题目描述中说每种硬币数量无限，因此是完全背包问题。

本题和 零钱兑换Ⅱ 的区别就是，零钱兑换Ⅱ 是要求返回凑成amount的组合数，而本题是返回凑成amount的最少硬币的数量。

求装满背包的最少物品数量的递推逻辑，和 474.一和零 类似：DAY46：动态规划（八）01背包应用2：一和零（二维容量01背包）_大磕学家ZYX的博客-CSDN博客

DP数组含义

dp[j]含义是容量为j的背包，填满背包的最少硬币数目是dp[j]

递推公式

和474.一和零 递推公式类似，求装满背包物品个数，也是一个求历史最小值的过程

dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);//这里的+1，是增加了一个物品的意思，因为求的是个数，就把value值改为了1！

遍历顺序

本题求物品最小个数，那么物品有顺序和没有顺序都可以，都不影响物品的最小个数！

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

初始化

求最小硬币个数，为了min值能够进行替代，最开始初始化需要都初始化为INT_MAX！

最开始的写法

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        //先定义为INT_MAX
        vector<int>dp(amount+1,INT_MAX-1);
        dp[0]=0;
        //物品在外，实际上都可以
        for(int i=0;i<coins.size();i++){
            for(int j=1;j<=amount;j++){
                if(j>=coins[i]){
                    dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
		return dp[amount];
    }
};

debug逻辑错误：背包不一定装满

这个问题中， 因为dp数组的含义是填满容量为j的背包，最少硬币个数是dp[j]，因此dp[j]如果有数值，就一定是填满了的！如果没有填满，值就是初始化的数值！

修改完整版

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        //先定义为INT_MAX,DP数组含义是填满j背包，最少需要dp[j]个硬币
        vector<int>dp(amount+1,INT_MAX-1);
        //初始化很重要，最开始只有j=coins[i]的时候才会有继续的数值
        dp[0]=0;
        //物品在外，实际上都可以
        for(int i=0;i<coins.size();i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                //如果dp[j-coins[i]]是初始值，说明没有填满，凑不成这个金额j
                if(dp[j-coins[i]]==INT_MAX) continue;
                //能填满再更新数值
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
            }
        }
        if(dp[amount]==INT_MAX)  return -1;
		return dp[amount];
    }
};

颠倒遍历顺序的版本：

• 颠倒for的顺序，再修改if里面的边界条件即可

// 版本二
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

递归逻辑分析

dp[j]表示凑出金额j所需的最少硬币数量，初始化为 INT_MAX，表示“不可能”。当我们选择硬币coins[i]时，有两种可能：

1. 不选这个硬币，那么dp[j]保持原来的值，即“前一步的最优解”。
2. 选这个硬币，那么dp[j]应该更新为 dp[j-coins[i]] + 1，即“选这个硬币后还需要凑出金额i-coins[j]，再加上这一个硬币”。

注意到这里的dp[j-coins[i]] + 1。如果dp[j-coins[i]]是初始值INT_MAX，表示“凑出金额j-coins[i]是不可能的”，那么即使我们选择了硬币coins[i]，仍然不能凑出金额j。因此在这种情况下我们应该跳过，保持dp[j]为原来的值。

另一方面，如果dp[j-coins[i]] + 1不是初始值，即"凑出金额j-coins[i]是可能的"，也就是说这种情况下背包已经装满了。那么我们可以选择硬币coins[i]，并更新dp[j]。

背包是否”装满“的判断

在背包问题中，DP数组的含义和它的初始化是密切相关的。在 零钱兑换 问题中，我们是希望找到凑出目标金额所需的最小硬币数，所以dp数组的含义是“使用最小数量的物品装满背包”，这也就决定了我们需要将dp数组初始化为无穷大（INT_MAX）。在这种情况下，dp[j]值更新意味着我们找到了一种新的方式来填满金额j，也就是说背包是填满的。

然而，对于其它的背包问题，比如纯完全背包问题，dp[j]的含义是“背包容量为j时的最大价值”，初始化为0，表示开始时背包是空的，没有价值。对于每一个物品，我们可以选择拿或者不拿，如果拿的话，就是dp[j - weight[i]] + value[i]，如果不拿，就是dp[j]。我们取两者中的最大值，这样可以保证我们总是得到最大价值。在这种情况下，背包并不一定是填满的，因为我们的目标是使背包的总价值最大，而不是一定要填满背包。

总结：装满背包最大/最小物品个数类

• 递推公式：因为求的是个数，所以，把完全背包的递推公式，物品value值改为1即可。递推公式最后+1，是增加了一个物品的意思。
• 遍历顺序：求物品个数的类型题，因为物品不管是排列方案数和组合方案数，都不影响物品的最后个数，因此物品个数类型题，遍历顺序都可以！并不需要限制是组合方案数！
• 初始化：如果求的是最小物品个数，还需要注意要全部初始化成INT_MAX！
• 474.一和零 说的是该子集最多m个0，n个1，所以默认背包是填满的。如果要求填不满返回-1，还要考虑dp数组是不是为初始值的问题。这类问题，DP数组只要不是初始值，都是默认填满了的，如果DP数组dp[amount]是初始值，说明没有填满！（从DP数组的含义来分析）