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🍉什么是动态规划？
1）题目解析，（我们以第N个泰波那契数来进行举例）
2）解读算法原理
🍉第N个泰波那契数的代码编写
🍉空间优化
🍉什么是动态规划？
动态规划就是一种解决题目的总体思路，在秋招和春招的时候会有很多面试题都会用到动态规划的求解思路，我们就来仔细的学习以下~
1）题目解析，（我们以第N个泰波那契数来进行举例）
2）解读算法原理
🍒1.状态表示
什么是状态标识？我们先来问问chatGPT，得到以下解释：
在动态规划中，状态表示指的是如何表示子问题的状态。这些状态通常用变量或数组来表示，并且它们存储着问题的某种属性或者是解的部分信息。
具体的状态表示方法取决于问题的特点和要求。一般来说，状态表示应该满足以下两个条件：
- 无后效性：即一个状态的值只与前面的状态有关，与未来的状态无关。这意味着在计算每个状态时，不需要考虑当前状态之后的任何状态。这样可以简化计算过程并减小时间复杂度。
- 最优子结构：即全局最优解包含了各个子问题的最优解。这意味着通过计算子问题的最优解，可以推导出整个问题的最优解。
常见的状态表示方式包括但不限于：
- 单个变量：例如表示位置、时间等。
- 数组：例如表示数量、容量等。
- 矩阵：多维数组，用于表示相关的状态。
在动态规划问题中，选择合适的状态表示方法对于问题的求解至关重要。通过合理的状态表示，可以将复杂的问题转化为易于理解和计算的子问题，从而提高求解效率
简单来说：
我们会建立一个一维数组，我们称为dp表，然后我们把这个dp表想办法填满，填满之后，里面的某个值可能就是我们的最终结果，状态表示就是指，dp表里面的值所表示的含义
怎么来？
- 1.题目要求——dp[i]表示：第i个泰波那契数的值
- 2.经验+题目要求（多做题就会有所体会）
- 3.分析问题的过程中，发现重复子问题
🍒2.状态转移方程(最难的一步)
这个通过读题就可以看出，题目中已经告诉了我们：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
具体如何推导，我们之后慢慢做题来看
🍒3.初始化
初始化的时候保证填表不越界，
比如泰波那契数这个题，我们要填表中的前三个，按公式来说我们就要直到第-3，-2，-1个位置
但这样肯定是越界的，所以我们要根据题目推出来。而这个题就已经给了我们前三个位置的数，分别为：0，1，1
🍒4.填表顺序
为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了
在这道题里，我们的填表顺序是从左到右
🍒5.返回值
题目要求 + 状态表示
🍉第N个泰波那契数的代码编写
题目链接：力扣
class Solution {
public:
int tribonacci(int n)
{
// 1.创建 dp 表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回值
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1 || n == 2)
return 1;
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0,dp[1] = 1,dp[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++)
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];
return dp[n];
}
};🍉空间优化
空间优化方法会在这道题和很后面学的背包问题中进行讲解
主要是因为我们刚刚接触到动态规划，先要把重点放在前五个步骤上面
（1.状态表示；2.状态转移方程；3.初始化；4.填表顺序；5.返回值）
空间优化会着重在背包问题的文章中重点讲解
我们先来了以这道题来了解以下空间优化
我们可以用到滚动数组的方法来进行优化
我们在求某一个状态的时候，仅仅只需要直到前面的三种状态即可，
我们在求 n=4 的时候，就不会在用到0位置的数，我们在求 n=5 的时候就不会用到 0和 1位置的值所以我们在求后面的数的时，只需要前面若干个数的时候，就可以用滚动数组来求解
其时间复杂度：优化前时O(n^2)，优化后时O(n)；优化前时O(n)，优化后时O(1)
🍒解决该题的思路：
定义四个变量，每次对其进行更新操作
注意一个细节，我们注意赋值的顺序！
class Solution {
public:
int tribonacci(int n)
{
// 1.创建 dp 表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回值
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1 || n == 2)
return 1;
int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
for(int i = 3; i <= n; i++)
{
d = a + b + c;
// 滚动操作
a = b;
b = c;
c = d;
}
return d;
}
};
