一、最长递增子序列
链接：力扣
描述：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
思路如下：
“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。
子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系。
动规五部曲：
1、dp[i]的定义
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为在做递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾和 nums[i]为结尾。
2、状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
3、dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
4、确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。对于j的遍历顺序来说，从前往后和从后往前都可以，只有遍历完所有元素即可。
遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[i] > nums[j])
{//递推公式
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
}
}
}
5、举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
代码如下：
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
{
//dp[i]：以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度
vector<int>dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[i] > nums[j])
{//递推公式
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
}
}
}
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
//求dp数组的最大值
result = max(result, dp[i]);
}
return result;
}
};运行如下：
二、最长连续递增序列
链接：力扣
描述：给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
思路如下：
本题与上一题最大的区别在于“连续”，本题要求的是最长连续递增序列
动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。
2、确定递推公式
其中一种思路：
如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i - 1] + 1；
因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。
第二种思路：直接在上一题的思路加一个j与i的关系作为判断条件：i==j-1即可。
3、dp数组如何初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;
4、确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。
5、举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：
代码如下：
class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums)
{
//dp[i]:以nums[i]为结尾的最长连续递增序列的长度
vector<int>dp(nums.size(), 1);
int result;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[i] > nums[j] && i == j + 1)
{
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
}
}
result = max(result, dp[i]);
}
return result;
}
};运行如下：
三、最长重复子数组
链接：力扣
描述：给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
思路如下：本题也是子序列问题，题目中的子数组，其实就是连续子序列。
要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。
本题还可以用动态规划来解决，用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推递推公式了。 动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
（特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
根据该定义，dp[0][0]是无意义的定义，其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和j都要从1开始。
2、确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i和j要从1开始。
3、dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的，但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，为了方便，递归公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1，所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。
4、确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
反过来也可以。同时题目要求长度最长的子数组的长度，所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
代码如下：
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
5、举例推导dp数组
以A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
代码如下：
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
{
//dp[i][j]:以nums1[i-1]和nums2[j-1]为结尾元素的最长重复子数组的长度
vector<vector<int>>dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size()+1));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++)
{
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++)
{
if (nums1[i-1] == nums2[j-1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
result = max(result, dp[i][j]);
}
}
return result;
}
};运行如下：
