全排列
例子： n n n 个数取 m m m 个数有序排放
通项公式： A n m ( P n m ) = n ∗ ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_n^m(P_n^m)=n*(n-1)*(n-2)*···*(n-m+1)= \frac{n!}{(n-m)!} Anm(Pnm)=n∗(n−1)∗(n−2)∗⋅⋅⋅∗(n−m+1)=(n−m)!n!
组合数
例子： n n n 个数取 m m m 个数，杨辉三角
递推公式： C i 0 = 1 , C i j = C i − 1 j + C i − 1 j − 1 C_i^0=1,\space C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1} Ci0=1, Cij=Ci−1j+Ci−1j−1
通项公式： C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!(n−m)!n!
性质： C n m = C n n − m , C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + C n n = 2 n C_n^m=C_n^{n-m},\space C_n^0+C_n^1+C_n^2+···+C_n^n=2^n Cnm=Cnn−m, Cn0+Cn1+Cn2+⋅⋅⋅+Cnn=2n
关于杨辉三角：
最简单的杨辉三角与组合数的递推公式相同
组合数的性质在杨辉三角中体现为对称以及第 i i i 行所有数的和为 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1
不同的是杨辉三角可以带有系数 ( a , b ) (a,b) (a,b)，即将杨辉三角第二行赋值为 a a a 和 b b b
而杨辉三角的第 i i i 行就是 ( a , b ) (a,b) (a,b) 的 i − 1 i-1 i−1 次方
我们可以通过这种方法求 ( a x + b ) i − 1 (ax+b)^{i-1} (ax+b)i−1 展开后每一项前的系数
p.s.我记得这玩意好像也可以用矩阵快速幂求，但是我不会，而且可能也没啥用，就不拓展了
递推公式为第 i i i 行第 j j j 个数 x i , j = a ∗ x i − 1 , j + b ∗ x i − 1 , j − 1 x_{i,j}=a*x_{i-1,j}+b*x_{i-1,j-1} xi,j=a∗xi−1,j+b∗xi−1,j−1
卡特兰数
例子：括号匹配，走楼梯，出栈顺序，二叉树计数
小数据：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796
递推公式： h 0 = h 1 = 1 , h n = ∑ i = 0 n − 1 h i ∗ h n − i − 1 = h n − 1 ∗ ( 4 n − 2 ) / ( n + 1 ) h_0=h_1=1,\space h_n=\sum_{i=0}^{n-1}h_i*h_{n-i-1}=h_{n-1}*(4n-2)/(n+1) h0=h1=1, hn=∑i=0n−1hi∗hn−i−1=hn−1∗(4n−2)/(n+1)
通项公式： h n = C 2 n n − C 2 n n − 1 = C 2 n n / ( n + 1 ) h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^{n} / (n + 1) hn=C2nn−C2nn−1=C2nn/(n+1)
对于通项公式的拓展（以走楼梯为例）：
走楼梯问题可以抽象的认为是从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 走到 ( n , n ) (n,n) (n,n) 并且不超过直线 y = x y=x y=x（只能向右或向上走）
如图为从
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0) 走到
(
8
,
8
)
(8,8)
(8,8) 并且不超过直线
y
=
x
y=x
y=x 的一种走法
而有时我们需要求的并不是从
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0) 走到
(
n
,
n
)
(n,n)
(n,n)，假定我们需要求的是从
(
x
a
,
y
a
)
(x_a,y_a)
(xa,ya) 走到
(
x
b
,
y
b
)
(x_b,y_b)
(xb,yb)
再具体的，我们假定从
(
3
,
0
)
(3,0)
(3,0) 走到
(
6
,
5
)
(6,5)
(6,5)
接下来以这个例子来解释做法，考虑容斥原理
如果不考虑不超过 y = x y=x y=x，那么从 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0) 走到 ( 6 , 5 ) (6,5) (6,5) 总共有 C 6 − 3 + 5 − 0 6 − 3 C_{6-3+5-0}^{6-3} C6−3+5−06−3 种
不超过
y
=
x
y=x
y=x 等价于不经过
y
=
x
+
1
y=x+1
y=x+1，我们将点
(
6
,
5
)
(6,5)
(6,5) 对称过去得到点
(
4
,
7
)
(4,7)
(4,7)
从
(
3
,
0
)
(3,0)
(3,0) 走到
(
4
,
7
)
(4,7)
(4,7) 的方案数与从
(
3
,
0
)
(3,0)
(3,0) 走到
(
6
,
5
)
(6,5)
(6,5) 的不合法的方案是相等
解释如图，从
(
3
,
0
)
(3,0)
(3,0) 走到
(
4
,
7
)
(4,7)
(4,7) 的路线超出
y
=
x
+
1
y=x+1
y=x+1 的部分对称回去即可走到
(
6
,
5
)
(6,5)
(6,5)
从
(
3
,
0
)
(3,0)
(3,0) 走到
(
4
,
7
)
(4,7)
(4,7) 总共有
C
4
−
3
+
7
−
0
4
−
3
C_{4-3+7-0}^{4-3}
C4−3+7−04−3 种
因此从 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0) 走到 ( 6 , 5 ) (6,5) (6,5) 的合法的方案即为 C 6 − 3 + 5 − 0 6 − 3 − C 4 − 3 + 7 − 0 4 − 3 C_{6-3+5-0}^{6-3}-C_{4-3+7-0}^{4-3} C6−3+5−06−3−C4−3+7−04−3
( x b , y b ) (x_b,y_b) (xb,yb) 关于 y = x + 1 y=x+1 y=x+1 对称即为 ( y b − 1 , x b + 1 ) (y_b-1,x_b+1) (yb−1,xb+1)，不合法方案数 C y b − 1 − x a + x b + 1 − y a y b − 1 − x a = C x b − x a + y b − y a y b − x a − 1 C_{y_b-1-x_a+x_b+1-y_a}^{y_b-1-x_a}=C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{y_b-x_a-1} Cyb−1−xa+xb+1−yayb−1−xa=Cxb−xa+yb−yayb−xa−1
由此可以推导得出，从 ( x a , y a ) (x_a,y_a) (xa,ya) 走到 ( x b , y b ) (x_b,y_b) (xb,yb) 的方案数为 C x b − x a + y b − y a x b − x a − C x b − x a + y b − y a y b − x a − 1 C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{x_b-x_a}-C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{y_b-x_a-1} Cxb−xa+yb−yaxb−xa−Cxb−xa+yb−yayb−xa−1
例题：登山
Q：如果出现 y b − 1 < x a y_b-1<x_a yb−1<xa 的情况怎么办？（可以证明不存在 x b + 1 < y a x_b+1<y_a xb+1<ya 的情况）
A：可以发现这种情况不存在不合法方案，所以方案数即为 C x b − x a + y b − y a x b − x a C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{x_b-x_a} Cxb−xa+yb−yaxb−xa
待完善···
