DAY47：动态规划（九）完全背包理论基础

news2024/11/19 5:26:44

文章目录

- 完全背包示例
- 与01背包的区别：遍历顺序
- - 常规遍历写法
  - DP状态图-为什么背包正序就能放进来重复物品
- for循环的嵌套，外层物品内层背包能否颠倒？
- - for嵌套顺序颠倒的遍历写法
- 测试示例
- 面试题目
- 总结

课程链接：代码随想录 (programmercarl.com)

完全背包示例

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，我们通过纯完全背包问题理解原理。

题目示例：

背包最大重量为4。

物品为：

在这里插入图片描述
每件商品都有无限个！

问背包能背的物品最大价值是多少？

与01背包的区别：遍历顺序

完全背包在写法上，与01背包唯一区别就是遍历顺序。

常规遍历写法

01背包遍历顺序：

for(int i=0;i<weight.size();i++){//物品在外
    for(int j=bagWeight;j>=weight[i];j--){//背包在内，且背包倒序
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    }  
}

遍历顺序和倒序相关问题：DAY45：动态规划（六）背包问题优化：一维DP解决01背包问题_大磕学家ZYX的博客-CSDN博客

01背包内嵌的背包容量循环是倒序遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

for(int i=0;i<weight.size();i++){//仍然是物品在外
    for(int j=weight[i];j<=bagWeight;j++){//背包容量是正序遍历
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    }
}

DP状态图-为什么背包正序就能放进来重复物品

可以通过DP状态图看一下原因。如下图，可以解释为什么背包容量正序遍历，就会放进来很多重复的物品。图中可知，如果正序，同一物品的情况下，就会累加dp[j[-weight[i]]]，导致这个物品i被放进去很多次。

在这里插入图片描述

for循环的嵌套，外层物品内层背包能否颠倒？

其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

之前的博客整理过，01背包遍历物品必须在外层循环，原因是一维dp的写法，背包容量是倒序遍历（为了不重复放入[j-weight[i]]的物品），而如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

01背包物品在内的情况：（01背包容量倒序）

在这里插入图片描述
DAY45：动态规划（六）背包问题优化：一维DP解决01背包问题_大磕学家ZYX的博客-CSDN博客

而在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

原因完全背包，背包容量的for循环是正序遍历，是dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

蓝色字体是dp[3]和dp[4]的推导过程。

在这里插入图片描述
遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

蓝色字体是dp[3]的推导过程，绿色字体是dp[4]的推导过程。

在这里插入图片描述
根据上图结果可以看出，因为完全背包是背包正序遍历，因此即使背包循环在外面，dp[3]和dp[4]的推导也不受影响。相当于避免了01背包里面，颠倒遍历顺序会只放进去一个物品的问题。

完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

01背包里，因为dp[j]计算需要dp[j-weight[i]]，而如果j在外层，遍历到dp[j]的时候，dp[j-weight[i]]根本没有数据。因此会出现问题。但完全背包正序遍历，并不影响dp[j-weight[i]]的数值。因此可以颠倒。

for嵌套顺序颠倒的遍历写法

背包在外层，物品在内层的遍历写法：

注意颠倒嵌套顺序的写法，需要注意下标越界问题！

for(int j=0;j<=bagWeight;j++){
    for(int i=0;i<weight.size();i++){
        if(j-weight[i]) //注意颠倒嵌套顺序的写法，需要注意下标越界问题！
        	dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    }
}

测试示例

常规遍历顺序：

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

for颠倒的遍历顺序：

// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) 
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}