一、BP网络

1.1 单层感知机

单层感知机，就是只有一层神经元，它的模型结构如下¹：

对于权重$w$的更新，我们采用如下公式：

$$\begin{gathered} w_i=w_i+\Delta w_i \\ \Delta w_i=\eta (y-\hat{y})x_i\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

其中，$y$ 为标签，$\hat{y}$ 为模型输出值，$\eta$ 为学习率，$x_i$ 为模型输入。

这样我们就实现了对一层感知机的参数调整。

但是，单层感知机由于是线性的，拟合能力很有限，对于非线性可分的问题（比如异或）都是无法处理的。

1.2 多层感知机

如果是多层感知机，参数调整复杂一些，需要采用误差逆向传播算法。网络结构如图，这里假设我们只考虑包含一个隐含层的神经网络：

网络的具体参数如上图所示。

其在第k个样例上的误差为：

$$E_k=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^l({\hat{y}}_j^k-y_j^k)$$

对于任意参数更新：
$$v=v+\Delta v$$

对于参数$w$，

$$\Delta w_{hj}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}$$

$$\frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}=\frac{\partial E_k}{\partial {\hat{y}}_j^k}\cdot \frac{\partial {\hat{y}}_j^k}{\partial {\beta }_j}\cdot \frac{\partial {\beta }_j}{\partial w_{hj}}$$

${\beta }_i$为输出层的输入，根据其定义，

$$\frac{\partial {\beta }_j}{\partial w_{hj}}=b_h$$

其中$b_h$为隐含层的输出。

因为每一层要经过一个激活函数，这里我们采用的是sigmoid函数，他有一个很好的性质：

$$f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$$

于是就有：

$$\begin{array}{rl}{g}_j=& -\frac{\partial E_k}{\partial {\hat{y}}_j^k}\cdot \frac{\partial {\hat{y}}_j^k}{\partial {\beta }_j}\\ =& -({\hat{y}}_j^k-y_j^k)f^{\prime }({\beta }_j-{\theta }_j)\\ =& {\hat{y}}_j^k(1-{\hat{y}}_j^k)(y_j^k-{\hat{y}}_j^k)\end{array}$$

其中，${\theta }_j$ 为第j个输出神经元的 bias。

这样，我们就得到了$w$的更新量（注意：这里不需要加负号了，因为我们已经在$g_j$中添加过了），

$$\Delta w_{hj}=\eta g_j{b}_h$$

$$\begin{gathered} \Delta {\theta }_j=-\eta g_j \\ \Delta v_{ih}=\eta e_h{x}_i \\ \Delta {\gamma }_h=-\eta e_h \end{gathered}$$

在BP算法中，假设我们的只有3层网络，1个输入层、一个隐含层、一个输出层，那么参数的数量为$d\times q+q\times l+q+l$（其中，d，q，l分别为输入层、隐藏层、输出层的神经元数量），我们根据上面的公式就可以进行参数的迭代计算了。

而根据不同的输入数据，隐藏层神经元的数量如何设置呢？我这里采用了一个经验公式，参考自bp隐含层节点数经验公式。

文中指出：

$$q=(d+l)\times \frac{2}{3}$$

二、基于weka代码实现

package weka.classifiers.myf;

import weka.classifiers.Classifier;
import weka.core.*;
import weka.core.matrix.Matrix;
import weka.filters.Filter;
import weka.filters.unsupervised.attribute.NominalToBinary;

/**
 * @author YFMan
 * @Description 自定义的 BP 神经网络 分类器
 * @Date 2023/6/7 11:30
 */
public class myBPNet extends Classifier {
    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //主函数
     * @Date 2023/6/7 19:14
     * @Param [argv 命令行参数]
     * @return void
     **/
    public static void main(String[] argv) {
        runClassifier(new myBPNet(), argv);
    }

    // 训练数据
    private Instances m_instances;

    // 当前正在训练的样例
    private Instance m_currentInstance;

    // 训练总次数
    private final int m_numEpochs;

    // 二值化过滤器，将标称属性转换为二值属性，进而输入到神经网络中
    private final NominalToBinary m_nominalToBinaryFilter;

    // 学习率
    private final double m_learningRate;

    // 当前的训练误差
    private double m_error;

    // 输入维度（输入层神经元数量）
    private int m_numInputs;

    // 隐藏层维度（隐藏层神经元数量）
    private int m_numHidden;

    // 输出维度（输出层神经元数量）
    private int m_numOutputs;

    // 输入层的输出
    private Matrix m_input;

    // 输入层到隐藏层的权重矩阵
    private Matrix m_weightsInputHidden;

    // 隐藏层到输出层的权重矩阵
    private Matrix m_weightsHiddenOutput;

    // 隐藏层的阈值
    private Matrix m_hiddenThresholds;

    // 输出层的阈值
    private Matrix m_outputThresholds;

    // 隐藏层的输出
    private Matrix m_hiddenOutput;

    // 输出层的输出
    private Matrix m_output;

    // 输出层对应的标签
    private Matrix m_labels;

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description // BP 网络 构造函数
     * @Date 2023/6/7 19:04
     * @Param []
     * @return
     **/
    public myBPNet() {
        // 训练数据
        m_instances = null;
        // 当前样例
        m_currentInstance = null;
        // 训练误差
        m_error = 0;
        // 二值化过滤器，将标称属性转换为二值属性
        m_nominalToBinaryFilter = new NominalToBinary();
        // 训练总次数
        m_numEpochs = 500;
        // 学习率
        m_learningRate = .3;
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //Sigmoid函数
     * @Date 2023/6/7 19:53
     * @Param [x]
     * @return double
     **/
    double sigmoid(double x) {
        return 1.0 / (1.0 + Math.exp(-x));
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //前向传播
     * @Date 2023/6/7 19:47
     * @Param []
     * @return void
     **/
    void forwardPropagation() {
        // 初始化输入层的输出
        for (int i = 0; i < m_numInputs; i++) {
            m_input.set(0, i, m_currentInstance.value(i));
        }

        // 计算隐藏层的输出
        m_hiddenOutput = m_input.times(m_weightsInputHidden);
        // 减去阈值
        m_hiddenOutput = m_hiddenOutput.minus(m_hiddenThresholds);
        // 激活函数
        for (int i = 0; i < m_numHidden; i++) {
            m_hiddenOutput.set(0, i, sigmoid(m_hiddenOutput.get(0, i)));
        }

        // 计算输出层的输出
        m_output = m_hiddenOutput.times(m_weightsHiddenOutput);
        // 减去阈值
        m_output = m_output.minus(m_outputThresholds);
        // 激活函数
        for (int i = 0; i < m_numOutputs; i++) {
            m_output.set(0, i, sigmoid(m_output.get(0, i)));
        }
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //反向传播
     * @Date 2023/6/7 20:20
     * @Param []
     * @return void
     **/
    void backPropagation() {
        // 获取当前样例的标签
        m_labels = new Matrix(1, m_numOutputs);
        for (int i = 0; i < m_numOutputs; i++) {
            // 将标签转换为矩阵(最后部分的 binary 对应 类标签 标值)
            m_labels.set(0, i, m_currentInstance.value(m_numInputs + i));
        }


        // 计算 g = m_output * (1 - m_output) * (m_labels - m_output)
        // 输出层的误差
        Matrix m_outputError = m_output.copy();
        m_outputError = m_outputError.times(-1);
        // 创建一个全为 1 的矩阵 用于 1 - m_output
        Matrix one = new Matrix(1, m_numOutputs, 1);
        m_outputError = m_outputError.plus(one);
        m_outputError = m_outputError.arrayTimes(m_output);
        m_outputError = m_outputError.arrayTimes(m_labels.minus(m_output));

        // 计算 隐藏层到输出层的权重矩阵的增量 deltaWeightsHiddenOutput = m_learningRate * g * b_h
        // 隐藏层到输出层的权重矩阵的增量
        Matrix m_deltaWeightsHiddenOutput = new Matrix(m_numHidden, m_numOutputs);
        for(int h = 0; h < m_numHidden; h++) {
            for(int j = 0; j < m_numOutputs; j++) {
                m_deltaWeightsHiddenOutput.set(h, j, m_learningRate * m_outputError.get(0, j) * m_hiddenOutput.get(0, h));
            }
        }

        // 计算 隐藏层到输出层的阈值的增量 deltaOutputThresholds = - m_learningRate * g
        // 输出层的阈值的增量
        Matrix m_deltaOutputThresholds = m_outputError.times(-m_learningRate);

        // 计算 隐藏层的误差 hiddenError = b_h * (1 - b_h) * g * m_weightsHiddenOutput.transpose()
        Matrix one1 = new Matrix(1, m_numHidden, 1);
        // 隐藏层的误差
        Matrix m_hiddenError = m_hiddenOutput.copy();
        m_hiddenError = m_hiddenError.times(-1);
        m_hiddenError = m_hiddenError.plus(one1);
        m_hiddenError = m_hiddenError.arrayTimes(m_hiddenOutput);
        m_hiddenError = m_hiddenError.arrayTimes(m_outputError.times(m_weightsHiddenOutput.transpose()));

        // 计算 输入层到隐藏层的权重矩阵的增量 deltaWeightsInputHidden = m_learningRate * hiddenError * x_i
        // 输入层到隐藏层的权重矩阵的增量
        Matrix m_deltaWeightsInputHidden = new Matrix(m_numInputs, m_numHidden);
        for(int i = 0; i < m_numInputs; i++) {
            for(int h = 0; h < m_numHidden; h++) {
                m_deltaWeightsInputHidden.set(i, h, m_learningRate * m_hiddenError.get(0, h) * m_input.get(0, i));
            }
        }

        // 计算 输入层到隐藏层的阈值的增量 deltaHiddenThresholds = - m_learningRate * hiddenError
        // 隐藏层的阈值的增量
        Matrix m_deltaHiddenThresholds = m_hiddenError.times(-m_learningRate);

        // 更新 隐藏层到输出层的权重矩阵
        m_weightsHiddenOutput = m_weightsHiddenOutput.plus(m_deltaWeightsHiddenOutput);
        // 更新 隐藏层到输出层的阈值
        m_outputThresholds = m_outputThresholds.plus(m_deltaOutputThresholds);

        // 更新 输入层到隐藏层的权重矩阵
        m_weightsInputHidden = m_weightsInputHidden.plus(m_deltaWeightsInputHidden);
        // 更新 输入层到隐藏层的阈值
        m_hiddenThresholds = m_hiddenThresholds.plus(m_deltaHiddenThresholds);

        // 更新训练误差
        m_error += calculateError();
    }


    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //计算训练误差
     * @Date 2023/6/7 21:04
     * @Param []
     * @return double
     **/
    double calculateError() {
        // 计算误差
        double error = 0;
        for (int i = 0; i < m_numOutputs; i++) {
            error += Math.pow(m_labels.get(0, i) - m_output.get(0, i), 2);
        }
        error /= 2;
        return error;
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //训练BP网络
     * @Date 2023/6/7 19:44
     * @Param []
     * @return void
     **/
    void train() {
        // 遍历epochs次训练
        for (int i = 0; i < m_numEpochs; i++) {
            // 初始化训练误差
            m_error = 0;
            // 遍历训练数据
            for (int j = 0; j < m_instances.numInstances(); j++) {
                // 获取当前训练样例
                m_currentInstance = m_instances.instance(j);
                // 前向传播
                forwardPropagation();
                // 反向传播
                backPropagation();
            }
            // 打印训练误差
            System.out.println("Epoch " + (i + 1) + " error: " + m_error);
            // 训练误差小于0.01，停止训练
            if (m_error < 0.01) {
                break;
            }
        }
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //根据训练数据训练BP网络
     * @Date 2023/6/7 19:12
     * @Param [instances 训练数据]
     * @return void
     **/
    public void buildClassifier(Instances instances) throws Exception {
        // 训练数据
        m_instances = instances;
        // 获取训练数据的标签
        m_nominalToBinaryFilter.setInputFormat(m_instances);
        m_instances = Filter.useFilter(m_instances, m_nominalToBinaryFilter);
        m_numInputs = 0;
        // 遍历训练数据，获取输入维度、隐藏层维度、输出维度
        for (int i = 0; i < instances.numAttributes(); i++) {
            // 获取输入维度
            if (i != instances.classIndex()) {
                if(instances.attribute(i).numValues()<=2){
                    m_numInputs += 1;
                }
                else{
                    m_numInputs += instances.attribute(i).numValues();
                }
            } else { // 获取输出维度
                if(instances.attribute(i).numValues()<=2){
                    m_numOutputs = 1;
                }
                else{
                    m_numOutputs = instances.attribute(i).numValues();
                }
            }
        }
        // 隐藏层维度(输入维度+输出维度) * 2 / 3
        m_numHidden = (m_numInputs + m_numOutputs) * 2 / 3;
        // 初始化输入层
        m_input = new Matrix(1, m_numInputs);

        // 初始化权重矩阵
        m_weightsInputHidden = Matrix.random(m_numInputs, m_numHidden);
        m_weightsHiddenOutput = Matrix.random(m_numHidden, m_numOutputs);

        // 初始化隐藏层阈值向量
        m_hiddenThresholds = new Matrix(1, m_numHidden);
        // 初始化输出层阈值向量
        m_outputThresholds = new Matrix(1, m_numOutputs);
        // 训练误差
        m_error = 0;
        // 训练
        train();

    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description //根据样例分类数据，返回各个类别的概率
     * @Date 2023/6/7 19:11
     * @Param [instance 输入样例]
     * @return double[] 各个类别的概率
     **/
    public double[] distributionForInstance(Instance instance) throws Exception {
        // 将输入样例由标称属性转换为二值属性
        m_nominalToBinaryFilter.input(instance);
        m_currentInstance = m_nominalToBinaryFilter.output();

        // 前向传播
        forwardPropagation();
        // 如果输出维度为1，返回概率
        double[] result;
        if (m_numOutputs == 1) {
            result = new double[2];
            result[0] = 1 - m_output.get(0, 0);
            result[1] = m_output.get(0, 0);
        }
        else{ // 否则，进行归一化处理
            result = m_output.getRowPackedCopy();
            // 归一化处理
            double sum = 0;
            for (double v : result) {
                sum += v;
            }
            for (int i = 0; i < result.length; i++) {
                result[i] /= sum;
            }
        }
        return result;
    }
}

---

1. 周志华.《机器学习》 ↩︎