数据结构–哈夫曼树

带权路径长度

结点的$权$:有某种现实含义的数值（如:表示结点的重要性等)
$结点的带权路径长度$:从树的根到该结点的路径长度(经过的边数）与该结点上权值的乘积$树的带权路径长度$:树中所有$叶结点$的带权路径长度之和(WPL, Weighted Path Length)

$\mathrm{WPL}={\sum }_{i=1}^n{w}_i{l}_i$

哈夫曼树的定义

以上都是哈夫曼树

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中$带权路径长度(WPL)最小的二叉树$称为$哈夫曼树$，也称$最优二叉树$

哈夫曼树的构造

给定n个权值分别为$w_1,w_2...,w_n$的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:
1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。
2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3）从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。
4）重复步骤2）和3），直至F中只剩下一棵树为止。

1）每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大
2)哈夫曼树的结点总数为2n -1
3)哈夫曼树中不存在度为1的结点。
4)哈夫曼树并不唯一，但wPL必然相同且为最优

$WP{L}_{min}=1^{\ast }7+2^{\ast }3+3^{\ast }2+4^{\ast }1+4^{\ast }2=31$

哈夫曼编码

电报――点、划两个信号（二进制0/1)

固定长度编码――每个字符用相等长度的二进制位表示
$可变长度编码$――允许对不同字符用不等长的二进制位表示
若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为$前缀编码$
有哈夫曼树得到$哈夫曼编码$――字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树

$若哈夫曼树不唯一，则对应的哈夫曼编码不唯一$

$哈夫曼编码可用于数据压缩$

知识点回顾与重要考点