（一）课堂笔记
（二）思路详解
如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,是否也可以达到O(1)的时间复杂度。答案是可以的，考虑二维差分。
a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组
原数组： a[i][j]
我们去构造差分数组： b[i][j]
使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。
如何构造b数组呢？
我们去逆向思考。
同一维差分，我们构造二维差分数组目的是为了 让原二维数组a中所选中子矩阵中的每一个元素加上c的操作，可以由O(n*n)的时间复杂度优化成O(1)
已知原数组a中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)为左上角，以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;
始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i][j]的修改，会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数。
假定我们已经构造好了b数组，类比一维差分，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c
b[x1][y1] += c;
b[x1,][y2+1] -= c;
b[x2+1][y1] -= c;
b[x2+1][y2+1] += c;
每次对b数组执行以上操作，等价于：
for(int i=x1;i<=x2;i++)
for(int j=y1;j<=y2;j++)
a[i][j]+=c;
b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。
我们将上述操作封装成一个插入函数:
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{ //对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
b[x1][y1]+=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让b数组以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.
这叫做曲线救国。
代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
insert(i,j,i,j,a[i][j]); //构建差分数组
}
}
总结
(三) 代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int a[maxn][maxn], s[maxn][maxn];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
a[x1][y1] += c;
a[x2 + 1][y1] -= c;
a[x1][y2 + 1] -= c;
a[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main() {
int m, n, q, c;
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d", &m, &n, &q);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
scanf("%d", &s[i][j]);
}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] = s[i][j] - s[i - 1][j] - s[i][j - 1] + s[i - 1][j - 1];
}
}
while (q--) {
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
printf("%d ", s[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}参考文献：
作者：林小鹿
链接：https://www.acwing.com/solution/content/27325/
来源：AcWing
