174. 地下城游戏 - 力扣（Leetcode）

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

动态规划：

审题：

我们需要X体力值从左上角到左下角的体力至少需要多少体力值，其实变相的是考验我们对最短路径的思考，并且在这条路径开始到结束过程中不可为0或小于0，这就需要我们需要知道出发前最少需要多少健康值，才可以保证在运动时，不被杀死。
算法原理：

状态表示：

1：如果以dp[i][j]为结尾时。

如果以dp[i][j]为结尾时，从起点出发->到[i][j]我们不仅需要知道之前最少需要的健康值，而且还需知道之后的健康值，我们无法初始化第一次循环所需要的数据。

2：如果以dp[i][j]为开始（根据该状态表示）

如果以dp[i][j]为开始，我们只需要知道dp[i][j+1]与dp[i+1][j]的最少需要健康值就可迭代，因为我们知道，骑士到右下角后需要击败怪物并且活下来，所以如果我们直接在起始点就是右下角，骑士就只需要一次击败怪物并且活下来（至少剩一个点数），所以我们只需要保证当出去以后最低健康值为1即可。

状态转移方程

我们将怪物也看成回血，只是反向回血。

但是有一个注意点，假设dungeon[i][j]非常的大，大过了dp[i][j+1]那么此刻dp[i][j]成为了负数，回到不等公式，

X+dungeon[i][j] >=dp[i][j+1]； 说明了还没加dungeon[i][j]前的血量为负数，这是不允许的，最少得是1的最低生命值,所以在每次方程结束后我们都需要判断dp[i][j]是否>=1,如果小于则等于1，否则不变。

初始化

我们从表的右下角开始遍历，由于我们需要[i+1][j]与[i][j+1]的数据，所以特殊的位置的数据遍历会造成越界访问

所以我们创建的dp表需要比形参表行列多一行，多一列。

我们的第一个dp数据为右下角数据，我们需要保证骑士的健康值从-5出去以后的最低健康值为1；

 由于蓝圈为第一次的[i][j]填写数据，所以我们需要初始化它的右位置与下位置，而蓝圈为骑士最后战斗的地方，所以最后只需要1格的生命值离开蓝圈，所以初始化这两个位置的dp值为1.

填表顺序

从右到左，从下到上

返回值

dp[0][0]//  min(dp[0][1],dp[1][0])-dungeon[0][0]。

代码

    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        if(dungeon.size()==0)//如果数据为空，1点生命值足以
        {
            return 1;
        }
        int n=dungeon.size(),m=dungeon[0].size(); 
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(m+1,INT_MAX));//创建dp表
        dp[n][m-1]=dp[n-1][m]=1;//初始化
        for(int i=n-1;i>=0;--i)//从下往上
        {
            for(int j=m-1;j>=0;--j)//从右向左
            {
                前一位置最低值+血包>=下一位置最低值
                前一位置最低值>=下一位置最低值-血包（血包也会为负数）
                dp[i][j]=min(dp[i][j+1],dp[i+1][j])-dungeon[i][j];从着位置到达地牢所需的初始健康值
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);为了防止血包大于下一步最小健康值，导致抵达当前位置健康值为负数
            }
        }
        return dp[0][0];//返回最顶开始到低的最低值
    }