一、单词拆分

链接：力扣

描述：给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

思路如下： 转化为背包问题进行分析，即单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！

动态规划五部曲分析如下：

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

2、确定递推公式

如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。

所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

3、dp数组如何初始化

从递推公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递推的根基，dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都是false了。

对于dp[0]来说，其意义是dp[0]表示如果字符串为空的话，说明出现在字典里。但题目中已经提到了，对于“给定一个非空字符串 s” 所以测试数据中不会出现i为0的情况，那么dp[0]初始为true完全就是为了推导公式。下标非0的dp[i]初始化为false，只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

4、确定遍历顺序

题目中说是拆分为一个或多个在字典中出现的单词，所以这是完全背包。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

而本题其实应该求的是排列数，因为本题会强调单词之间的组成顺序。比如s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] 举例。"apple", "pen" 是物品，那么要求物品的组合一定是 "apple" + "pen" + "apple" 才能组成 "applepenapple"。"apple" + "apple" + "pen" 或者 "pen" + "apple" + "apple" 是不可以的，那么需要强调物品之间顺序。

所以说，本题一定是先遍历背包，再遍历物品。

5、举例推导dp[i]

以输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]为例，dp状态如图：

代码如下：

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict)
    {
        vector<bool>dp(s.size() + 1, false);//dp[i]是字符串的长度为i，是否可以组成s
        dp[0] = true;
        unordered_set<string>us(wordDict.begin(), wordDict.end());
        for (int j = 1; j <= s.size(); j++)//遍历背包,求排列数
        {
            for (int i = 0; i < j; i++)//遍历物品
            {
                string str = s.substr(i, j - i);
                if (us.find(str) != us.end() && dp[i] == true)
                {
                    dp[j] = true;
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

运行如下：

二、多重背包

背景：有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。多重背包和01背包非常相似，如果再题目条件改成：每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

01背包问题背景：

多重背包问题背景：

实现代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void test_multi_pack()
{
    vector<int> weight = { 1, 3, 4 };
    vector<int> value = { 15, 20, 30 };
    vector<int> nums = { 2, 3, 2 };
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++)
    { // 遍历物品
        for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) 
        { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        //打印dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}