简介

模算术是整数的一种算术结构，其中数字在达到特定值时“环绕”。模运算使我们能够简单地生成群、环和域，这是大多数现代公钥密码系统的基本构造部分。其中数字超过一定值后（称为模）后会“卷回”到较小的数值。

模算数常见的应用在十二小时制，将一天分为二个以十二小时计算的单位。

模算术运算

假设这有一个13点的时钟：

设有一个小于p的整数集： = {0,1,2,...,𝑝 − 1｝

上图中p=13，所以： = {0,1,2,...,12}

加运算：先加然后求余数模p（即除以p）

• 5 + 7 = 12 𝑚𝑜𝑑 13

这里12小于13所以5+7等于12不用考虑mod。

• 7 + 12 = 6 𝑚𝑜𝑑 13

乘运算：先乘然后求模p的余数

• 2 × 5 = 10 𝑚𝑜𝑑 13

• 5 × 7 = 9 𝑚𝑜𝑑 13

减运算：加法的逆运算

• 12 − 7 = 5 𝑚𝑜𝑑 13

小于13所以直接得5

• 6 − 12 = 7 𝑚𝑜𝑑 13

除运算：乘法的逆运算

• 10 ÷ 5 = 2 𝑚𝑜𝑑 13

• 9 ÷ 7 = 5 𝑚𝑜𝑑 13

可以反过来想，设5=n，7n mod 13 余9，相当于就是7n / 13余9

逆乘法

如果x*y = 1 mod p那么在 中，x和y互为倒数。

• y只有在gcd(𝑦, 𝑝) = 1的时候存在

逆可用于计算除法：

如果𝑝 是质数，每个𝑥 在里面 除了零点外还有一个倒数。

比如：

在 中，(1,1)，(2,4)，(3,5)，(6,6)都互为倒数。

指数和生成器

指数：重复乘法

比如

生成器：通过求幂生成整个组的元素

比如2就是的生成器。

代表所有在 中可逆的元素

Fermat’s Little Theorem - 费马小定理

如果p是质数，则

所以mod(p-1)可以用指数运算。

比如：

对于生成器𝑔, 选择一个随机指数𝑎:将是随机的。