一、坐标系之间的欧式变换

xW , yW , zW定义的世界坐标系，xC , yC , zC 定义的相机坐标系。

相机视野中某个向量 p，它的坐标为pc，而从世界坐标系下看，它的坐标 pw。

二、相机运动

相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，这种变换称为欧氏变换。这样一个欧氏变换由一个旋转R和一个平移t两部分组成。

这里考虑旋转。我们设某个单位正交基 (e1, e2, e3) 经过一次旋转，变成了 (e ′ 1 , e ′ 2 , e ′ 3 )。它在两个坐标系下的坐标为 [a1, a2, a3] T 和 [a ′ 1 , a ′ 2 , a ′ 3 ] T。根据坐标的定义，有：

矩阵R称为旋转矩阵，由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系，是一个行列式为 1 的正交矩阵。
旋转矩阵的逆（即转置）描述了一个相反的旋转
旋转矩阵的集合定义如下

SO(n) 是特殊正交群

这里的变换关系不是一个线性关系。假设我们进行了两次变换：R1, t1 和 R2, t2：

这样的形式在变换多次之后会过于复杂，于是重写：

把一个三维向量的末尾添加 1，变成了四维向量，称为齐次坐标。

对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成了线性关系。该式中，矩阵 T 称为变换矩阵（Transform Matrix）。用 a˜ 表示a的齐次坐标。

在齐次坐标中，某个点 x 的每个分量同乘一个非零常数 k 后，仍然表示的是同一个点。

因此，一个点的具体坐标值不是唯一的。如 [1, 1, 1, 1]T 和 [2, 2, 2, 2]T 是同一个点。但当最后一项不为零时，我们总可以把所有坐标除以最后一项，强制最后一项为 1，从而得到一个点唯一的坐标表示。

忽略掉最后一项，这个点的坐标和欧氏空间就是一样的。