1. 解析函数的无穷可微性

1.1. 解析函数的高阶导数

定理（解析函数的高阶导数公式）：设区域 D 的边界为复/单周线 $\Gamma$，函数 $f(z)$ 在 D 内解析，在 $\overline{D}=D\cup \Gamma$ 上连续，则有：
$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}d\zeta ,(z\in D,n=1,2,\cdots )$$

证明：（数学归纳法）当 $n=1$ 时，由 Cauchy 公式
$$\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{1}{\Delta z}\left[\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z-\Delta z}d\zeta -\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \right]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z)}d\zeta$$下一步需要证明，当 $\Delta z$ 足够小时，
$$\left|\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z)}d\zeta -\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|=\left|\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{\Delta zf(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|$$小于任意给定的正数 $\epsilon$。由于，$f(z)$ 在 $\Gamma$ 上连续，故 $|f(z)|$ 在 $\Gamma$ 上存在上界 $M$，即
$$|f(\zeta )|⩽M,(\zeta \in \Gamma )$$


设点 $z$ 距周线的距离为 $\delta$，则有 $|\zeta -z|⩾\delta$。另外，不妨取 $|\Delta z|<\frac{\delta }{2}$，则
$$|\zeta -z-\Delta z|⩾||\zeta -z|-|\Delta z||>\frac{\delta }{2}$$由积分估值定理
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{\Delta zf(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|& =\frac{|\Delta z|}{2\pi }\left|{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|\\ & \\ & ⩽\frac{|\Delta z|}{2\pi }{\int }_{\Gamma }\frac{|f(\zeta )|}{|\zeta -z-\Delta z||\zeta -z{|}^2}|d\zeta |\\ & \\ & <\frac{|\Delta z|}{2\pi }\frac{M}{\frac{\delta }{2}{\delta }^2}{\int }_{\Gamma }|d\zeta |\\ & \\ & =\frac{|\Delta z|ML}{\pi {\delta }^3}\end{array}$$其中，$L$ 为周线的周长。故只要满足：
$$|\Delta z|<min\left\{\frac{d}{2},\frac{\epsilon \pi {\delta }^3}{ML}\right\}$$上式便不会超过任给的正数 $\epsilon$。即
$$f^{\prime }(z)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}d\zeta$$现假定当 $n=k>1$ 时，定理成立。此时可将 $f^{(k)}(z)$ 视为 $f(z)$ ，类似于 $n=1$ 的情形推证知：$n=k+1$ 时结论也成立。（证毕）

Remark:
\quad
1）该公式一方面给出了用积分计算高阶导数，另一方面也提供了由导数计算积分的方法；
\quad
2）该定理指出：若函数在区域内解析，则它在区域内具有各阶导数，并且它们在区域里也解析；
\quad

1.2. 导数估计式 —— Cauchy 不等式

定理（Cauchy 不等式）：设复函数在圆盘 $|z-z_0|<R$ 内解析，又 $|f(z)|<M,(|z-z_0|<R)$，则圆心处的高阶导数满足：
$$\left|f^{(n)}(z_0)\right|⩽\frac{n!M}{R^n},(n=1,2,3,\cdots )$$

证明：复函数在任意的圆盘 $|z-z_0|⩽R_1<R$ 上解析，则由高阶导数的计算公式:
$$\begin{array}{rl}\left|f^{(n)}(z_0)\right|& =\left|\frac{n!}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\zeta )}{\zeta -z_0}d\zeta \right|\\ & \\ & ⩽\frac{n!}{2\pi }\frac{M\cdot 2\pi R_1}{R_1^{n+1}}=\frac{n!M}{R^n}\end{array}$$令 $R_1\to R$，Cauchy 不等式得证。

Remark： 显然，Cauchy 不等式对导数的估计与区域的大小相关。

1.3. Liouville 定理

定义：全平面解析的函数称为 整函数 。

定理（Liouville 定理）：有界整函数必为常数。

证明：由于函数 $f(z)$ 在全平面解析，且有界，则对任意一点由 Cauchy 不等式：
$$\left|f^{\prime }(z)\right|⩽\frac{M}{R^n}$$令 $R\to 0$，则有：
$$f^{\prime }(z)=0$$故可知
$$f(z)=Const$$

推论：非常数的整函数必定无界。

1.4. 代数基本定理的一种证明

引理：任意 $n$ 次多项式函数 $$p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$$在复平面内至少有一个零点。

证明：（反证法）设 $p(z)$ 在复平面上无零点，则函数 $\frac{1}{p(x)}$ 在全平面上解析，根据 Liouville 定理：非常数的整函数必定无界。

由于
$$\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{1}{|p(z)|}=\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{1}{|z{|}^n\left(\frac{a_0}{|z{|}^n}+\frac{a_1}{|z{|}^{n-1}}+\cdots +a_n\right)}=0$$故存在 $R>0$，使得当 $|z|>R$ 时
$$|f(z)|<1$$在闭圆 $|z|<R$ 内，函数解析，则根据最大模原理，函数 $\frac{1}{p(x)}$ 在 $|z|=R$ 上达到上界。

综上，$\frac{1}{p(x)}$ 在全平面是有界的，矛盾，原命题成立。

\quad

定理（代数基本定理）： $n$ 次多项式函数
$$p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$$在复平面内有且仅有 $n$ 个零点

证明：根据引理，多项式函数 $p(z)$ 在全平面至少存在一个零点 $z_0$，那么根据因式定理有：
$$p(z)=(z-z_0)g(z)$$其中，$g(z)$ 为 $n-1$ 阶多项式，同样对其运用引理，可得另一零点。反复操作下去，代数基本定理便可得证。

2. Cauchy 型积分定理

2.1. Cauchy 型积分

定义：设 C 为复平面内任意一条简单的逐段光滑的曲线（不必闭合），$f(z)$ 是在 C 上有定义的可积函数，那么积分：
$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta ,(z\notin C)$$存在，将其称作 柯西型积分 。

2.2. Cauchy 型积分定理

定理：若复函数 $f(z)$ 沿简单的逐段光滑的曲线 C（不必闭合）连续，则由柯西型积分定义的函数 $F(z)$:
$$F(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta ,(z\in D)$$解析，其中，$D$ 为曲线 C 外的任意区域 ($D\cap C=\varphi$)。且它满足：
$$F^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}d\zeta ,(z\in D，n=1,2,3,\cdots )$$

证明：由于 $f(z)$ 沿简单的逐段光滑的曲线 C连续，且 $z\notin C$，故柯西型积分存在。下面证明函数 $F(z)$ 导数存在并求出导数（过程与解析函数高阶导数计算公式的证明类似，采用数学归纳法）：

$$\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}=\frac{1}{\Delta z}\left[\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z-\Delta z}d\zeta -\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \right]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z)}d\zeta$$下一步需要证明，当 $\Delta z$ 足够小时，
$$\left|\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z)}d\zeta -\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|=\left|\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{\Delta zf(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|$$小于任意给定的正数 $\epsilon$。由于，$f(z)$ 在 $C$ 上连续，故 $|f(z)|$ 在 $C$ 上存在上界 $M$，即
$$|f(\zeta )|⩽M,(\zeta \in C)$$设点 $z$ 距 C 的距离为 $\delta$，则有 $|\zeta -z|⩾\delta$。另外，不妨取 $|\Delta z|<\frac{\delta }{2}$，则
$$|\zeta -z-\Delta z|⩾||\zeta -z|-|\Delta z||>\frac{\delta }{2}$$由积分估值定理
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{\Delta zf(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|& =\frac{|\Delta z|}{2\pi }\left|{\int }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z-\Delta z)(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|\\ & \\ & ⩽\frac{|\Delta z|}{2\pi }{\int }_C\frac{|f(\zeta )|}{|\zeta -z-\Delta z||\zeta -z{|}^2}|d\zeta |\\ & \\ & <\frac{|\Delta z|}{2\pi }\frac{M}{\frac{\delta }{2}{\delta }^2}{\int }_C|d\zeta |\\ & \\ & =\frac{|\Delta z|ML}{\pi {\delta }^3}\end{array}$$其中，$L$ 为 C的长度。故只要满足：
$$|\Delta z|<min\left\{\frac{d}{2},\frac{\epsilon \pi {\delta }^3}{ML}\right\}$$上式便不会超过任给的正数 $\epsilon$。即
$$F^{\prime }(z)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}d\zeta$$现假定当 $n=k>1$ 时，定理成立。此时可将 $F^{(k)}(z)$ 视为 $F(z)$ ，类似于 $n=1$ 的情形推证知：$n=k+1$ 时结论也成立。（证毕）