数据结构–特殊矩阵的压缩存储

一维数组的存储结构

ElemType a[10]; //ElemType型一维数组

各数组元素大小相同，且物理上连续存放。
数组元素a[i]的存放地址= LOC + i * sizeof(ElemType) $(0\le i<10)$
注:除非题目特别说明，否则数组$下标默认从0开始$
$注意审题!易错!$

二维数组的存储结构

ElemType b[2][4];//2行4列的二维数组

$逻辑视角:$

$内存视角：$

行优先存储

M行N列的二维数组b[M][N]中，若按行优先存储，则b[i][i]的存储地址= LOC+( i * N + j) * sizeof(ElemType)

列优先存储

M行N列的二维数组b[M][N]中，若按列优先存储，则b[i][li]的存储地址= LOC+( j * M+ i ) * sizeof(ElemType)

普通矩阵的存储

$可用二维数组存储$

注意:描述矩阵元素时，行、列号通常从1开始;而描述数组时通常下标从0开始
(具体看题目给的条件，注意审题!)

特殊矩阵的存储

$某些特殊矩阵可以压缩存储空间$

对称矩阵的压缩存储

若 $n$ 阶$方阵$中任意一个元素 $a_{i,j}$ ,都有 $a_{i,j}=a_{j,i}$ 则该矩阵为对称矩阵
普通存储: $n\ast n$ 二维数组
压缩存储策略:只存储主对角线+下三角区(或主对角线+上三角区)

$策略$:只存储主对角线+下三角区
按$行优先$原则将各元素存入一维数组中。

思考:
①数组大小应为多少?
②站在程序员的角度，对称矩阵压缩存储后怎样才能方便使用?
回答：
①(1+n)*n/2
②可以实现一个“映射”函数：矩阵下标→一维数组下标

$Key$:按$行优先$的原则，$a_{i,j}$ 是第几个元素?

三角矩阵的压缩存储

下三角矩阵:除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同

上三角矩阵:除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同

下三角矩阵

压缩存储策略:按$行优先$原则将橙色区元素存入一维数组中。并$在最后一个位置存储常量c$

$Key$:按$行优先$的原则，$a_{}i,j$是第几个元素?

上三角矩阵

压缩存储策略:按$行优先$原则将绿色区元素存入一维数组中。并$在最后一个位置存储常量c$

$Key$:按$行优先$的原则，$a_{i,j}$是第几个元素?

三对角矩阵的压缩存储

$三对角矩阵$，又称$带状矩阵$:
当$|i-j|>1$时，有$a_{i,j}=0(1\le i,j\le n)$

$压缩存储策略:$
按$行优先$(或列优先）原则，只存储带状部分

$Key$:按$行优先$的原则，$a_{i,j}$是第几个元素?

若已知数组下标k，如何得到i, j?
$B[k]\to a_{i,j}$

第k+1个元素，在第几行?第几列?
前 $i-1$ 行共 $3(i-1)-1$ 个元素
前 $i$ 行共 $3i-1$ 个元素
显然，$3(i-1)-1<k+1\le 3i-1$

$i\ge (k+2)/3$
可以理解为“刚好”大于等于

$i = $\lceil \frac{k+2}{3}\rceil$
向上取整即可满足“刚好”大于等于

第k+1个元素，在第几行?第几列?

i = $\lceil (k+2)/3\rceil$
或
i = $\lfloor (k+1)/3+1\rfloor$

由 $k=2i+j-3$，得 $j=k-2i+3$

稀疏矩阵的压缩存储

$稀疏矩阵$:非零元素远远少于矩阵元素的个数

压缩存储策略:
顺序存储 ―― 三元组<行，列，值>

压缩存储策略二:
链式存储―― $十字链表法$

知识点回顾与重要考点