本文介绍薄透镜近轴成像的一些性质，所谓近轴成像，就是入射光线非常靠近光轴，意味着入射角很小。在介绍这些性质之前，我们先来看看三角函数的泰勒展开：

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+...$$

$$\cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+...$$

当入射角很小的时候，上面的三角函数可以近似为：

$$\sin \theta \approx \theta \cos \theta \approx 1\tan \theta \approx \theta$$

近轴成像

如上图所示，假设从物方有一点 P 发出一根近轴光线到达球面，通过球面折射之后到达像方 P’，球面两边介质的折射率分别为 n 和 n’，球面的曲率半径为 r，P 与球面交点的连线构成的角度为 u，P’ 与球面交点的连线构成的角度为 u’，球面交点与球面中心的连线构成的角度为 a，这些角度都是小角度，入射光线与球面法线的夹角为 i, 出射光线与球面法线的夹角为 i’, 球面交点到 PP’ 连线的垂直距离为 h，z 表示物距，z’ 表示像距。

根据光学的折射定律：

$$n\sin i=n^{\prime }\sin i^{\prime }$$

在角度很小的时候，三角函数可以用泰勒的一阶近似表示，上面的式子可以写成：

$$ni\approx n^{\prime }{i}^{\prime }$$

同理，可以得到：

$$u\approx \tan u\approx h/z{u}^{\prime }\approx \tan u^{\prime }\approx h/z^{\prime }a\approx h/r$$

根据三角形的内角和定义：

$$i=u+aa=i^{\prime }+u^{\prime }$$

代入上式，可以得到：

$$n(u+a)\approx n^{\prime }(a-u^{\prime })$$

$$n(h/z+h/r)\approx n^{\prime }(h/r-h/z^{\prime })$$

$$n/z+n/r\approx n^{\prime }/r-n^{\prime }/z^{\prime }$$

$$n/z+n^{\prime }/z^{\prime }\approx n^{\prime }/r-n/r$$

上面的 $h$ 消掉了，意味着在近轴成像的情况下，从 P 点发出的光线都能汇聚到 P’ 点上。

当物距足够大的时候，可以认为光线是平行入射的，这种情况下，上面的式子可以写成：

$$n^{\prime }/z^{\prime }\approx n^{\prime }/r-n/r\Rightarrow z^{\prime }\approx (r{n}^{\prime })/(n^{\prime }-n)$$

这个时候的 z 就是薄透镜的焦距 $f$

造镜公式 Lensmaker’s formula

根据上面的薄透镜成像原理，我们可以推导出近轴成像的一般公式：

$$n/z+n^{\prime }/z^{\prime }\approx n^{\prime }/r-n/r$$

上面是只考虑单面的球面的情况，对于两面的情况，可以进行类似的推导。

如上图所示，假设物点 P 先到达透镜的 A 点，然后传输到 D 点，最后通过透镜折射到 Q 点，这个透镜是由左右两个球面构成的，前面一个球面的曲率半径为 $R_1$，球面中心为 C，后面一个球面的曲率半径为 $R_2$，球面中心在 E，透镜的折射率为 $n$

先看第一面的折射情况，根据近轴成像原理，及一阶泰勒展开，我们可以得到如下的关系式：

$$\sin i_1=n\sin r_1{i}_1=n{r}_1{i}_1={\alpha }_1+{\beta }_1{r}_1={\beta }_1-\gamma$$

从上面的式子，可以得到：
$${\alpha }_1+{\beta }_1=n({\beta }_1-\gamma )\text{\hspace{1em}(1)}$$

接下来看第二面的折射情况，同样根据近轴成像关系，以及一阶泰勒展开，可以得到如下的关系式：

$$\sin i_2=n\sin r_2{i}_2=n{r}_2{i}_2={\alpha }_2+{\beta }_2{r}_2={\beta }_2+\gamma$$

从上面的式子，可以得到：

$${\alpha }_2+{\beta }_2=n({\beta }_2+\gamma )\text{\hspace{1em}(2)}$$

将 (1) 和 (2) 合并，可以得到：

$${\alpha }_1+{\alpha }_2=(n-1)({\beta }_1+{\beta }_2)$$

根据上面的三角函数关系近一阶泰勒近似，我们可以得到如下的关系

$${\alpha }_1=h/s{\alpha }_2=h/s^{\prime }{\beta }_1=h/R_1{\beta }_2=h/R_2$$

最终可以得到：

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=(n-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})\text{\hspace{1em}(3)}$$

公式 (3) 被称为造镜者公式，如果物距 $s$ 足够大的时候，$s^{\prime }$ 就对应这个薄透镜的焦距 $f$

$$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})$$

所以：

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{f}$$

这个就是薄透镜的高斯成像公式。

Ray transfer matrix 追迹转换矩阵

在近轴成像的前提下，可以得到一个通用的追迹公式，称为追迹转换矩阵。

如上图所示：

$$x_i=s_i{\theta }_i{x}_0=s_0{\theta }_0\frac{1}{s_i}+\frac{1}{s_0}=\frac{1}{f}$$

因为透镜的厚度很薄，可以认为 $d\approx 0$，所以 $ x_i \approx x_0$

综合上式，我们可以得到如下的矩阵关系：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ {\theta }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{f}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ {\theta }_i\end{array}\right]$$

上面的矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{f}& 1\end{array}\right]$ 就是追迹转换矩阵，如果有多片薄透镜放在一起，可以将多个透镜的追迹转换矩阵连乘即可：

• Ref. https://solitaryroad.com/c1034b.htm
• Ref. http://graphics.cs.cmu.edu/courses/15-463/