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梯度下降法
梯度下降法
步骤
牛顿法
牛顿法的基本思想
牛顿法的优缺点
作用
梯度下降法
梯度下降法（Gradient Descent）是一种常用的优化算法，用于求解函数的最小值或最大值。它通过迭代的方式，不断更新参数的取值，使目标函数的值逐渐趋近于最优解。
梯度下降法的基本思想是，在每一次迭代中，通过计算目标函数对参数的梯度（即函数在当前参数取值处的变化率），然后沿着梯度的反方向进行参数更新，从而使目标函数的值逐步下降。这是因为梯度的方向指示了函数增长最快的方向，而我们希望找到函数的最小值，因此朝着梯度的反方向进行参数更新可以逐渐接近最优解。
在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函
数和模型参数值。
梯度下降法
在机器学习中，对于很多监督学习模型，需要对原始的模型构建损失函数,接下来便是通
过优化算法对损失函数进行优化，最小化损失函数，以便寻找到最优的参数.于是，基于搜
索的梯度下降法就产生了。
梯度下降法是通过当前点的梯度的反方向寻找到新的迭代点，并从当前点移动到新的迭
代点继续寻找新的迭代点，直到找到最优解。
以下图为例：
上图中，η 称为学习率(learning rate)，有时候也写作α，其取值影响获得最优解的速度
通过这个公式，在梯度下降法中不断搜索最佳的θ值。
步骤
初始化参数：选择初始参数的取值。
计算梯度：计算目标函数对参数的梯度。梯度表示了函数在当前参数取值处的变化率。
参数更新：根据梯度的反方向，按照一定的步长（学习率）更新参数的取值。更新公式为：新参数 = 旧参数 - 学习率 × 梯度。
重复迭代：重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件，例如达到最大迭代次数或目标函数的变化很小。
牛顿法
牛顿法（Newton's Method），也称为牛顿-拉弗森法（Newton-Raphson Method），是一种用于求解方程根或函数的最小值的迭代优化算法。它利用函数的二阶导数信息（Hessian矩阵）来逼近函数的局部性质，能够更快地收敛到最优解。
牛顿法的基本思想是通过构造函数的泰勒级数展开来近似原函数，并使用近似函数的根或最小值来逐步逼近原函数的根或最小值。在每一次迭代中，牛顿法使用当前点的切线来估计函数的根或最小值，并将切线与x轴的交点作为下一次迭代的点。这样，通过不断迭代，可以逐渐逼近函数的根或最小值。
牛顿法的基本思想
在现有的极小值估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到极小点的下一个估计
值，反复迭代直到函数的一阶导数小于某个接近0的阀值。最终求出极小点的估计值。
牛顿法实现的动图如下所示：
注意
使用牛顿法时会用到hessian矩阵
牛顿法的优缺点
优点：
- 牛顿法既用到了一阶导数的信息，也用到了二阶导数的信息
- 牛顿法是用二次函数来代替目标函数，所以牛顿法的收敛速度是更快的
缺点：
- hessian矩阵不一定可逆
- 即使hessian矩阵可逆， 当 hessian 矩阵规模很大，非常耗时
作用
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方程求解：牛顿法可以用于求解非线性方程的根。通过不断迭代，牛顿法可以快速逼近方程的根，尤其在初始点附近，收敛速度通常很快。因此，牛顿法在科学计算、物理建模等领域中广泛应用，例如求解非线性方程、求解微分方程的初值问题等。
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优化问题：牛顿法可以用于求解函数的最小值或最大值。通过利用函数的二阶导数信息，牛顿法能够更快地收敛到函数的最优解。在优化问题中，牛顿法常用于求解无约束优化问题或约束优化问题的局部最优解。它在数学建模、机器学习、数据分析等领域中具有重要应用，例如最小二乘法、逻辑回归、神经网络等模型的参数优化。
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数值分析：牛顿法是数值分析中的一种重要方法。它提供了一种逼近函数根或最优解的有效途径，通过迭代和近似计算，能够在有限步骤内得到满足要求的解。牛顿法是一种高效的数值计算方法，可以用于求解复杂的数学问题，如非线性方程组的求解、多元函数的最小值等。
